Valor y vector propio

Un vector \(v\neq0\) es propio de \(A\) cuando \(Av\) es un múltiplo de \(v\): \(Av=\lambda v\). Geométricamente, \(A\) deja la recta generada por \(v\) en sí misma, estirándola si \(|\lambda|>1\), encogiéndola si \(|\lambda|<1\) e invirtiéndola si \(\lambda<0\). Por ejemplo, para \(A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\), \(A(1,1)=(5,5)\) y \(A(1,-2)=(2,-4)=2(1,-2)\): los valores propios son 5 y 2.

Se exige \(v\neq0\) porque \(A0=\lambda0\) vale para cualquier \(\lambda\) y no informaría nada. En cambio, \(\lambda=0\) sí puede ser valor propio: ocurre exactamente cuando \(Av=0\) tiene soluciones no nulas, es decir, cuando \(\det A=0\). Si \(v\) es propio, también lo es cualquier múltiplo no nulo, con el mismo \(\lambda\), y además \(A^kv=\lambda^kv\).

Un valor propio puede no ser real. La rotación de 90° en el plano, \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\), no deja ninguna recta fija y sus valores propios son \(\pm i\). Cuando una matriz \(n\times n\) tiene \(n\) vectores propios independientes, estos forman una base en la que la matriz es diagonal, idea que se desarrolla en la diagonalización.

Errores típicos: aceptar el vector cero como propio, creer que cada valor propio tiene un único vector propio (hay toda una recta, o un subespacio, de ellos) y pensar que la suma de vectores propios de valores distintos es otro vector propio. Cómo hallar los valores propios sin adivinar es el tema del polinomio característico.