Gradiente

El gradiente aparece al escribir la diferencial como un producto punto: \(df=\nabla f\cdot\langle dx,dy\rangle\). De ahí, para una dirección unitaria \(\mathbf{u}\), la razón de cambio es \(\nabla f\cdot\mathbf{u}=|\nabla f|\cos\theta\), con \(\theta\) el ángulo entre ambos. Es máxima, igual a \(|\nabla f|\), cuando \(\mathbf{u}\) apunta como el gradiente; es mínima, \(-|\nabla f|\), en sentido opuesto; y es cero en las direcciones perpendiculares.

Esto explica la relación con las curvas de nivel: sobre una de ellas \(f\) no cambia, así que el gradiente es perpendicular a su tangente. Para \(f=x^2+y^2\) en \((1,1)\), \(\nabla f=\langle2,2\rangle\) es normal a la circunferencia \(x^2+y^2=2\) en ese punto. Con esa normal se escribe la recta tangente a una curva \(f(x,y)=c\): \(f_x(x-a)+f_y(y-b)=0\). En tres variables, el mismo argumento da el plano tangente a una superficie de nivel.

El gradiente se define igual con tres o más variables, como el vector de todas las parciales: para \(f=xyz\), \(\nabla f=\langle yz,xz,xy\rangle\). Donde vale el vector cero, el plano tangente es horizontal y el punto es candidato a máximo, mínimo o silla.

Un error común es tratar \(\nabla f\) como número: es un vector, y la dirección de máximo crecimiento exige normalizarlo. Su aplicación inmediata es la derivada direccional, que viene a continuación.