Derivación en varias variables · Definición

Diferenciabilidad en varias variables

cálculo multivariablederivadas

Antes de empezar necesitas conocer

Es la condición que permite hablar con honestidad de «aproximar linealmente»: sin ella, el plano de las parciales puede existir y aun así no aproximar nada.

Definición

Una función \(f(x,y)\) es diferenciable en un punto \((a,b)\) si su gráfica tiene plano tangente allí: el error de la aproximación lineal es despreciable frente a la distancia al punto.

\[\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-f_x(a,b)\,h-f_y(a,b)\,k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\]

La definición pide que el error \(f(a+h,b+k)-L(h,k)\), con \(L\) la parte lineal construida con las parciales, sea pequeño aun comparado con la distancia \(\sqrt{h^2+k^2}\). En una variable esto equivale a que exista la derivada; en dos variables, existir las parciales es más débil, porque solo mide lo que pasa sobre los ejes. Por ejemplo, \(f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\) (con \(f(0,0)=0\)) tiene \(f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\), pero a lo largo de \(h=k\) el cociente del error vale \(\sqrt2/4\), no cero.

En la práctica no se verifica el límite: se usa el criterio suficiente de que las parciales existan y sean continuas en un entorno del punto. Así, todo polinomio, exponencial, seno y cociente con denominador no nulo es diferenciable donde está definido. Los puntos conflictivos son vértices y pliegues, como el origen para \(\sqrt{x^2+y^2}\) o \(|x|+|y|\).

La diferenciabilidad implica continuidad, y también justifica la diferencial \(df=f_x\,dx+f_y\,dy\): para incrementos pequeños, \(\Delta f\approx df\). Con \(f=x^2y\) en \((1,2)\) y \((dx,dy)=(0.1,-0.1)\) se obtiene \(df=4(0.1)+1(-0.1)=0.3\), cercano al cambio real \(0.299\).

Es la hipótesis que usan los resultados siguientes: el gradiente, la derivada direccional y la regla de la cadena se enuncian para funciones diferenciables.

Para pensar

¿Por qué existir \(f_x\) y \(f_y\) en un punto no basta para que \(f\) sea continua allí?

Las parciales solo miran lo que ocurre sobre las dos rectas paralelas a los ejes. Una función puede ser cero sobre ambos ejes y distinta de cero en las diagonales, así que puede ser discontinua en el punto aun con ambas parciales existiendo.

Ejercicios 10

  1. Sea \(f(x,y)=x^2y\). Con el plano tangente en \((1,2)\), aproxima \(f(1.1,\,1.9)\).
  2. Para \(f(x,y)=x^2+3xy\) en \((1,1)\), calcula la diferencial \(df=f_x\,dx+f_y\,dy\) con \(dx=0.1\), \(dy=-0.2\).
  3. Sea \(f(x,y)=xe^{y}\). En \((2,0)\), con \(dx=0.05\) y \(dy=0.1\), ¿cuánto vale \(df\)?
  4. Halla la linealización de \(f(x,y)=\sin(xy)\) en el punto \((1,0)\).
  5. ¿Cuál condición garantiza que \(f\) es diferenciable en \((a,b)\)?
  6. Si \(f\) es diferenciable en \(P\), ¿cuál afirmación es siempre cierta?
  7. Sea \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\). ¿Por qué no es diferenciable en el origen?
  8. ¿Cuál de estas funciones es diferenciable en todo \(\mathbb{R}^2\)?
  9. Sea \(f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\) con \(f(0,0)=0\). ¿Cuál afirmación es correcta?
  10. Para la \(f\) anterior (con \(f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\)), ¿a qué valor tiende el cociente del error \(\dfrac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\) al acercarse al origen por la recta \(h=k>0\)?

Referencias

  • James Stewart, Daniel K. Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9th edition, Cengage, 2021. §14.4
  • Joel Hass, Christopher Heil, Przemyslaw Bogacki, Maurice D. Weir, George B. Thomas Jr., Thomas' Calculus, 15th edition, Pearson, 2023. §14.6
  • Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba, Vector Calculus, 6th edition, W. H. Freeman, 2012. §2.3