Punto crítico de una función de varias variables

La razón es la misma que en una variable: si \(f\) tiene un extremo local en \((a,b)\) y existen sus derivadas parciales, entonces \(t\mapsto f(a+t,b)\) y \(t\mapsto f(a,b+t)\) tienen un extremo en \(t=0\), así que \(f_x(a,b)=0\) y \(f_y(a,b)=0\). Por eso los extremos locales interiores solo pueden aparecer donde \(\nabla f=\mathbf 0\) o donde el gradiente no existe.

Para encontrarlos se resuelve el sistema \(f_x=0\), \(f_y=0\). Si \(f(x,y)=x^2+y^2-4x+6y\), las ecuaciones \(2x-4=0\) y \(2y+6=0\) dan el único punto crítico \((2,-3)\). Cuando las ecuaciones son no lineales puede haber varios puntos o ninguno, y conviene resolver una variable y sustituir en la otra.

Un punto crítico no es necesariamente un extremo. La función \(f(x,y)=x^2-y^2\) tiene \(\nabla f=\mathbf 0\) en el origen, pero crece a lo largo del eje \(x\) y decrece a lo largo del eje \(y\): es un punto silla. Ser crítico es condición necesaria, no suficiente.

También hay puntos críticos donde el gradiente no existe, como el vértice del cono \(f=\sqrt{x^2+y^2}\), que es un mínimo. Para decidir de qué tipo es un punto crítico se usarán las segundas derivadas, reunidas en la matriz hessiana y en el criterio de la segunda derivada.