Matriz hessiana

Para calcularla se derivan dos veces las parciales. Si \(f(x,y)=x^3y\), entonces \(f_x=3x^2y\), \(f_y=x^3\) y \(f_{xx}=6xy\), \(f_{xy}=3x^2\), \(f_{yy}=0\); en \((1,1)\) la hessiana es \(\begin{pmatrix}6&3\\3&0\end{pmatrix}\). La notación \(f_{xy}\) significa derivar primero respecto a \(x\) y luego respecto a \(y\), y el orden se invierte según el libro.

Si las segundas derivadas son continuas, el teorema de Clairaut asegura \(f_{xy}=f_{yx}\), de modo que \(H\) es simétrica y basta calcular tres entradas distintas. Esto sirve como comprobación: si tus dos mixtas no coinciden, hay un error de cálculo.

Su determinante \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}\) y la entrada \(f_{xx}\) son los datos que usa el criterio de la segunda derivada. Un determinante negativo indica curvaturas de signo opuesto en dos direcciones, es decir, un punto silla.

Para tres o más variables la idea es la misma: la hessiana es la matriz \(n\times n\) de todas las parciales \(f_{ij}\). En una variable se reduce a \(f''\), y por eso se la ve como la segunda derivada en forma matricial.