Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-RIESZ-FISCHER-010 · ★★★ Avanzado

Sea \( f_n=\mathbf{1}_{(n,n+1)} \) en \( L^1(\mathbb{R}) \). ¿Es de Cauchy? Si lo es, ¿tiene límite en \( L^1 \)?

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  • D. No es de Cauchy, porque \( \|f_n-f_m\|_1=2 \) para \( n\neq m \)

Explicación

Los intervalos son disjuntos, así que la distancia entre dos términos distintos es la suma de sus medidas, es decir \( 2 \). Como no tiende a cero, no es de Cauchy.

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Repasa el concepto: Teorema de Riesz-Fischer

El teorema de Riesz-Fischer afirma que el espacio \( L^p(\mu) \) es completo para \( 1 \le p \le \infty \), es decir, toda sucesión de Cauchy en él converge a un elemento de \( L^p(\mu) \).

\[\lim_{n,m\to\infty}\|f_n-f_m\|_p=0 \implies \exists f\in L^p:\ \|f_n-f\|_p\to 0\]

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