Números complejos · Definición

Conjugado complejo

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Antes de empezar necesitas conocer

Es la reflexión del plano complejo respecto al eje real, y la herramienta para dividir, extraer partes real e imaginaria y luego medir distancias.

Definición

El conjugado de un complejo \(z\), con parte real \(a\) e imaginaria \(b\), es el complejo \(\bar z\) que conserva la parte real y cambia el signo de la imaginaria.

\[z=a+bi\ \Longrightarrow\ \bar z=a-bi\]

Conjugar es reflejar el punto \((a,b)\) en el eje horizontal. Se conserva la suma y el producto: \(\overline{z+w}=\bar z+\bar w\), \(\overline{zw}=\bar z\,\bar w\), y también \(\overline{\bar z}=z\). Por eso, si un polinomio con coeficientes reales tiene una raíz compleja, su conjugada también es raíz.

El producto \(z\bar z=a^2+b^2\) es siempre un real no negativo; es la clave para dividir: \(\frac{w}{z}=\frac{w\bar z}{z\bar z}\) convierte el denominador en real. Por ejemplo, \(\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}\). Este número \(a^2+b^2\) será el cuadrado del módulo, definido a continuación.

Las partes de \(z\) se recuperan con el conjugado: \(\operatorname{Re}z=\frac{z+\bar z}{2}\) e \(\operatorname{Im}z=\frac{z-\bar z}{2i}\). Además, \(z=\bar z\) equivale a que \(z\) sea real, y \(\bar z=-z\) a que sea imaginario puro.

Un error típico es conjugar solo una parte de la expresión o cambiar el signo de la parte real. También conviene recordar que conjugar no es una operación analítica: \(z\mapsto\bar z\) no será derivable, algo que cobrará importancia al estudiar las condiciones de Cauchy-Riemann.

Para pensar

Si \(p\) tiene coeficientes reales y \(p(z_0)=0\), ¿qué más se anula?

\(p(\bar z_0)=0\), porque \(\overline{p(z_0)}=p(\bar z_0)\) cuando los coeficientes son reales.

¿Qué transformación geométrica es \(z\mapsto\bar z\)?

La reflexión respecto al eje real.

Ejercicios 10

  1. Calcula el conjugado de \(3-4i\).
  2. Si \(z=2+3i\), calcula \(z\bar z\).
  3. Si \(z=5-2i\), calcula \(z+\bar z\).
  4. Si \(z=2-6i\), calcula \(\dfrac{z-\bar z}{2i}\).
  5. Escribe \(\dfrac{1+2i}{3-i}\) en la forma \(a+bi\).
  6. Calcula \(\overline{(1+i)(2-i)}\).
  7. Si \(z=1+2i\), calcula \((\bar z)^2\).
  8. Halla el complejo \(z\) que cumple \(z+2\bar z=6-3i\).
  9. ¿Para qué complejos se cumple \(z=\bar z\)?
  10. Si \(z\neq0\) y \(\bar z=-z\), ¿qué es \(z\)?

Referencias

  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 1, §1.1
  • James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §5
  • Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 1, §1.1