Tiempo-frecuencia e imagen · Definición

Transformada de Fourier de tiempo corto

procesamiento de señalestiempo-frecuencia e imagen

Antes de empezar necesitas conocer

Una sola DFT promedia el contenido frecuencial de toda la señal y pierde la información temporal. La STFT resuelve este problema analizando segmentos locales de la señal.

Definición

La transformada de Fourier de tiempo corto (STFT, \( X(\tau,\omega) \)) describe cómo varía el contenido frecuencial de una señal a lo largo del tiempo mediante una ventana deslizante.

\[X(\tau,\omega)=\sum_{n} x[n]\,w[n-\tau]\,e^{-j\omega n}\]

La STFT es lineal en \( x[n] \) y su módulo al cuadrado es el espectrograma. Al desplazar la ventana \( w[n] \) en \( \tau \), se obtiene una familia de espectros locales indexados por tiempo. La reconstrucción es posible bajo condiciones de solapamiento adecuadas (condición COLA), y el producto de resoluciones temporal y frecuencial está acotado por el principio de incertidumbre.

Considere \( x[n]=\cos(2\pi\,0{,}1\,n)\) para \( n<100\) y \( x[n]=\cos(2\pi\,0{,}3\,n)\) para \( n\ge 100\), con una ventana rectangular de longitud 32. Las STFT centradas en \( n<100 \) muestran un pico cerca de \( \omega=0{,}2\pi \), y las centradas en \( n\ge 100 \) muestran un pico cerca de \( \omega=0{,}6\pi \). Así el espectrograma revela el cambio de frecuencia que la DFT global mezclaría.

Un error típico es usar una ventana demasiado larga, lo que difumina el cambio temporal y hace que ambas frecuencias aparezcan mezcladas en los mismos frames. Otro error frecuente es olvidar que la STFT es redundante cuando el solapamiento es grande, por lo que no todos los coeficientes son independientes.

Para pensar

¿Por qué un solapamiento grande hace que la STFT sea redundante?

Porque frames consecutivos comparten muestras, así que sus coeficientes están correlacionados y no son independientes.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué representa el módulo al cuadrado de la STFT?
  2. ¿Qué variable recorre la ventana \( w[n] \) en la definición de la STFT?
  3. ¿La STFT es una operación lineal respecto de la señal \( x[n] \)?
  4. ¿Qué tipo de ventana corresponde a \( w[n] \) con valor 1 en un intervalo finito y 0 fuera?
  5. ¿Qué nombre recibe la condición que permite reconstruir la señal a partir de la STFT con solapamiento adecuado?
  6. Una señal vale \( x[n]=\cos(2\pi\,0{,}25\,n) \) durante todo el tiempo. ¿En qué frecuencia normalizada aparece el pico de su STFT en cualquier frame?
  7. Una ventana de longitud \( L=64 \) se desplaza con salto \( R=16 \). ¿Cuál es el número de solapamiento en muestras entre frames consecutivos?
  8. Si la STFT se calcula con \( L=256 \) y \( R=128 \), ¿cuál es el factor de redundancia aproximado respecto de la señal original?
  9. Una señal de 1024 muestras se analiza con STFT de ventana \( L=128 \) y salto \( R=64 \), sin relleno. ¿Cuántos frames completos se obtienen?
  10. Una señal \( x[n] \) tiene STFT con ventana rectangular de longitud \( L=32 \). Se sabe que \( x[n]=\cos(2\pi\,0{,}2\,n) \) para \( n<64 \) y \( x[n]=\cos(2\pi\,0{,}2\,n)+\cos(2\pi\,0{,}4\,n) \) para \( n\ge 64 \). ¿Cuál afirmación sobre el espectrograma en \( n\in[80,112) \) es correcta?

Referencias

  • Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition, Pearson, 1996.
  • Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd edition, Pearson, 2010.