Muestreo, DFT y FFT · Definición

Transformada discreta de Fourier

procesamiento de señalesmuestreo, dft y fft

Antes de empezar necesitas conocer

La DFT se obtiene a partir de la transformada de Fourier continua al muestrear el espectro de una secuencia finita en N puntos equiespaciados. Es la herramienta central del procesamiento digital de señales para análisis espectral y filtrado.

Definición

La transformada discreta de Fourier (DFT) convierte una secuencia finita de N valores complejos \(x[n]\) en N valores \(X[k]\) que representan sus componentes en las frecuencias \(2\pi k/N\).

\[X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\,e^{-j2\pi kn/N}\]

La DFT es lineal y periódica con periodo N, de modo que \(X[k+N]=X[k]\). Su inversa, la IDFT, recupera la secuencia mediante \(x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]\,e^{j2\pi kn/N}\), y el teorema de Parseval relaciona la energía en ambos dominios. Las raíces N-ésimas de la unidad \(W_N=e^{-j2\pi/N}\) son los coeficientes que aparecen en cada término de la suma.

Considere \(x[n]=\{1,2,0,1\}\) con N=4. Como \(W_4=-j\), se tiene \(W_4^2=-1\) y \(W_4^3=j\), de modo que \(X[0]=4\), \(X[1]=1-j\), \(X[2]=-2\) y \(X[3]=1+j\), resultado verificable mediante la IDFT.

Un error típico es confundir la DFT con la transformada continua y olvidar que la DFT supone periodicidad: al calcular la convolución lineal mediante DFT sin rellenar con ceros, aparece convolución circular y los resultados en los extremos son incorrectos. Para evitarlo, debe añadirse suficiente relleno de ceros antes de multiplicar espectros.

Para pensar

¿Por qué la DFT tiene solo N valores distintos aunque se evalúen índices k fuera de 0 a N-1?

Porque \(W_N^{k+N}=W_N^k\), así que \(X[k+N]=X[k]\) y bastan N valores independientes.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuántos valores complejos produce la DFT de una secuencia de longitud N?
  2. ¿Cuál es el periodo de la secuencia \(X[k]\) de una DFT de N puntos?
  3. ¿Qué expresión define el factor \(W_N\) usado en la DFT?
  4. ¿Cómo se llama la transformación que recupera la secuencia original a partir de sus valores \(X[k]\)?
  5. ¿Qué propiedad de la DFT establece que la transformada de una suma de secuencias es la suma de sus transformadas?
  6. Calcule \(X[0]\) para la secuencia \(x[n]=\{2,1,3\}\) de longitud N=3.
  7. Para N=4, ¿cuánto vale \(W_4^2\)?
  8. ¿Qué relación tiene \(X[0]\) con la media de los valores de \(x[n]\) en una DFT de N puntos?
  9. Para N=4, ¿cuánto vale \(W_4^3\)?
  10. Sea \(x[n]=\{1,2,1,0\}\) con N=4. ¿Cuánto vale \(X[2]\)?

Referencias

  • Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition, Pearson, 1996.
  • Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd edition, Pearson, 2010.