Números complejos · Definición

Raíz n-ésima compleja

análisis complejonúmeros complejos

Antes de empezar necesitas conocer

Resuelve ecuaciones del tipo \(z^n=w\) en los complejos, donde cada número no nulo tiene exactamente \(n\) soluciones.

Definición

Una raíz \(n\)-ésima de un complejo \(w\) es un complejo \(z\) cuya potencia \(n\)-ésima, con \(n\) entero positivo, es \(w\). Si \(w\) tiene módulo \(r\) y argumento \(\theta\), sus raíces están abajo.

\[z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\theta+2\pi k}{n}\right),\quad k=0,\dots,n-1\]

Para resolver \(z^n=w\) se escribe \(z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)\) y \(w=r(\cos\theta+i\sin\theta)\). Por De Moivre, \(\rho^n=r\) y \(n\varphi=\theta+2\pi k\) con \(k\) entero. De ahí \(\rho=\sqrt[n]{r}\) y \(\varphi=\frac{\theta+2\pi k}{n}\), que es la fórmula de arriba.

Solo \(k=0,1,\dots,n-1\) dan números distintos: para \(k=n\) el ángulo crece \(2\pi\) y se repite la primera raíz. Así, todo \(w\neq0\) tiene exactamente \(n\) raíces \(n\)-ésimas, todas con el mismo módulo \(\sqrt[n]{r}\) y separadas por \(\frac{2\pi}{n}\): son los vértices de un polígono regular de \(n\) lados centrado en el origen.

Ejemplo: las raíces cúbicas de \(-8\) tienen módulo 2 y ángulos \(\frac\pi3,\pi,\frac{5\pi}3\), es decir, \(1+i\sqrt3,\ -2,\ 1-i\sqrt3\). Las raíces de \(w=1\) se llaman raíces de la unidad; su suma es cero para \(n\ge2\), y las raíces de cualquier \(w\) salen de multiplicar una de ellas por las raíces de la unidad.

En los reales \(\sqrt{x}\) es una sola cantidad, pero en los complejos no hay una elección natural de signo para \(\sqrt{w}\): por eso el símbolo \(\sqrt[n]{w}\) se evita o se define como la raíz principal (\(k=0\)). Un error típico es dar solo la raíz principal y olvidar las otras \(n-1\).

Para pensar

¿Cuántas raíces sextas tiene \(64\) y cuál es su módulo?

Seis raíces, todas de módulo \(\sqrt[6]{64}=2\), formando un hexágono regular.

Si \(z\) es una raíz cuarta de \(w\), ¿cómo se obtienen las otras tres?

Multiplicando \(z\) por \(i\), \(-1\) y \(-i\), las raíces cuartas de la unidad.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuántas raíces cúbicas distintas tiene el número \(8\) en \(\mathbb{C}\)?
  2. Halla las raíces cuadradas de \(-4\).
  3. ¿Cuál de estos números NO es raíz cuarta de \(1\)?
  4. ¿Cuál es el módulo de cada raíz quinta de \(32\)?
  5. La raíz cúbica de \(-8\) con \(k=0\) en la fórmula es:
  6. La suma de las \(n\) raíces \(n\)-ésimas de \(1\), con \(n\ge2\), vale:
  7. Halla las raíces cuadradas de \(i\).
  8. El ángulo entre dos raíces sextas consecutivas de cualquier número no nulo es:
  9. ¿Cuál de estos números es una raíz cúbica de \(-27i\)?
  10. Las raíces cuartas de \(-4\) son \(\pm1\pm i\). Si \(z\) es una de ellas, ¿cuál afirmación es verdadera?

Referencias

  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 1, §1.1
  • James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §9
  • Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 1, §2.2