Señales y sistemas LTI · Definición

Respuesta al impulso

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Si conoces la respuesta de un sistema a un impulso, puedes predecir su respuesta a cualquier señal. Esta idea es el núcleo del análisis de sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

Definición

La respuesta al impulso \(h[n]\) es la salida de un sistema LTI cuando su entrada es el impulso unitario \(\delta[n]\).

\[y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k]\]

Por linealidad e invarianza temporal, la respuesta a \(\delta[n-k]\) es \(h[n-k]\), y al descomponer \(x[n]=\sum_k x[k]\delta[n-k]\) se obtiene la suma de convolución. En sistemas causales se cumple \(h[n]=0\) para \(n<0\), y en sistemas estables \(\sum_n |h[n]|<\infty\). Estas propiedades se leen directamente sobre \(h[n]\).

Considera un promediador de dos muestras, \(y[n]=\tfrac12(x[n]+x[n-1])\). Aplicando la entrada \(\delta[n]\) se obtiene \(h[0]=\tfrac12\) y \(h[1]=\tfrac12\), con el resto de valores nulos, de modo que \(h\) tiene longitud finita. Esta respuesta de duración finita define un sistema FIR.

Un error típico es confundir \(h[n]\) con la entrada, o olvidar que la convolución usa \(h[n-k]\) y no \(h[k-n]\). Otro error frecuente es suponer que todo sistema tiene una respuesta al impulso de duración finita, cuando los sistemas recursivos como \(y[n]=x[n]+\tfrac12 y[n-1]\) producen respuestas infinitas.

Para pensar

¿Por qué la respuesta al impulso basta para conocer la salida ante cualquier entrada en un sistema LTI, y qué fallaría si el sistema no fuera invariante en el tiempo?

La linealidad permite descomponer cualquier entrada en impulsos desplazados, y la invarianza temporal hace que cada uno produzca una copia desplazada de h. Sin invarianza, cada desplazamiento tendría su propia respuesta y h[n] no bastaría.

Ejercicios 10

  1. ¿Cómo se llama la salida de un sistema LTI cuando la entrada es \(\delta[n]\)?
  2. ¿Qué valor tiene \(\delta[n]\) en \(n=0\)?
  3. Si \(h[n]=0\) para \(n<0\), ¿qué propiedad tiene el sistema?
  4. Si \(h[n]\) tiene valores distintos de cero solo para \(n=0,1,2\), ¿cómo se denomina el sistema?
  5. ¿Qué operación combina la entrada \(x[n]\) con la respuesta \(h[n]\) para obtener la salida?
  6. Un sistema tiene \(h[n]=(0.5)^n u[n]\). ¿Cuál es \(h[2]\)?
  7. Para \(h[n]=\delta[n]+2\delta[n-1]\) y entrada \(x[n]=\delta[n]\), ¿cuánto vale \(y[1]\)?
  8. Un sistema tiene \(h[n]=u[n]-u[n-3]\). ¿Cuánto vale \(h[1]\)?
  9. Si \(h[n]=\delta[n-2]\), ¿qué salida produce la entrada \(x[n]=\delta[n]+\delta[n-1]\)?
  10. Sea \(h[n]=(0.5)^n u[n]\) y \(x[n]=u[n]\). Calcula \(y[0]\) y \(y[1]\) mediante convolución y elige la opción correcta.

Referencias

  • Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition, Pearson, 1996.
  • Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd edition, Pearson, 2010.