Transformada de Fourier continua

Si \(x(t)\) es absolutamente integrable, su transformada existe y la inversa \(x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega\) recupera la señal. La transformada es lineal, y un desplazamiento temporal \(x(t-t_0)\) produce un factor de fase \(e^{-j\omega t_0}\) en \(X(j\omega)\), sin cambiar su magnitud. Además, la convolución en el tiempo corresponde a la multiplicación en frecuencia.

Considere el pulso rectangular \(x(t)=1\) para \(|t|<T_1\) y \(0\) en otro caso. Integrando directamente se obtiene \(X(j\omega)=\frac{2\sin(\omega T_1)}{\omega}\), cuyo valor en \(\omega=0\) es \(2T_1\), igual al área del pulso. Este resultado muestra cómo una señal de duración corta tiene un espectro ancho.

Un error típico es olvidar el signo negativo en la exponencial del kernel, usando \(e^{j\omega t}\) en la directa. Esto invierte el espectro en frecuencia y da resultados incorrectos para señales no simétricas. Conviene verificar siempre la convención de signos antes de integrar.