Series y transformada de Fourier · Definición
Propiedades de la transformada de Fourier
Antes de empezar necesitas conocer
Las propiedades de Fourier permiten calcular transformadas de señales complejas a partir de transformadas conocidas. Así se evita integrar directamente en muchos casos.
Definición
Conjunto de reglas que describen cómo cambia la transformada de Fourier \(X(\omega)\) de una señal \(x(t)\) al aplicar operaciones como desplazamiento, escalado, derivación o convolución.
La linealidad establece que la transformada de una combinación lineal es la combinación lineal de las transformadas. El desplazamiento temporal multiplica la transformada por \( e^{-j\omega t_0} \), lo que solo cambia la fase y deja intacta la magnitud \( |X(\omega)| \). La derivación temporal equivale a multiplicar por \( j\omega \) en el dominio frecuencial.
Considera \( x(t) = e^{-2t}u(t) \), con transformada \( X(\omega) = \frac{1}{2+j\omega} \). Para \( x(t-1) \), la propiedad de desplazamiento da \( e^{-j\omega}\frac{1}{2+j\omega} \) sin repetir la integral.
Un error típico es olvidar el signo en el exponente al desplazar, escribiendo \( e^{j\omega t_0} \) en lugar de \( e^{-j\omega t_0} \). Esto invierte la fase y produce una señal desplazada en sentido contrario.
Para pensar
¿Por qué una señal y su copia desplazada en el tiempo tienen la misma magnitud espectral aunque sus formas temporales sean distintas?
Porque \( e^{-j\omega t_0} \) tiene módulo 1 para todo \( \omega \) real: el desplazamiento solo añade fase y cada componente frecuencial conserva su amplitud.
Ejercicios 10
- Según la propiedad de linealidad, ¿cuál es la transformada de \( a\,x_1(t)+b\,x_2(t) \)?
- ¿Cuál es el efecto de un desplazamiento temporal \( x(t-t_0) \) sobre la magnitud \( |X(\omega)| \)?
- ¿Cómo se representa la derivada \( \frac{dx(t)}{dt} \) en el dominio de la frecuencia?
- ¿Qué propiedad relaciona \( x(at) \) con \( X(\omega/a) \)?
- ¿Qué operación en el dominio del tiempo corresponde a multiplicar \( X(\omega)Y(\omega) \)?
- Sea \( x(t)=e^{-3t}u(t) \) con \( X(\omega)=\frac{1}{3+j\omega} \). ¿Cuál es la transformada de \( x(t-2) \)?
- Si \( x(t) \) tiene transformada \( X(\omega) \), ¿cuál es la transformada de \( \frac{dx(t)}{dt} \) cuando \( x(t)=e^{-t}u(t) \)?
- Sea \( x(t)=e^{-2t}u(t) \). ¿Cuál es la transformada de \( x(3t) \)?
- Sea \( x(t)=e^{-t}u(t) \) con \( X(\omega)=\frac{1}{1+j\omega} \). Calcula la transformada de \( y(t)=t\,x(t-1) \) usando desplazamiento y derivación en frecuencia.
- Sea \( x(t)=\frac{\sin(2t)}{\pi t} \) con transformada \( X(\omega)=\mathrm{rect}(\omega/4) \). ¿Cuál es la transformada de \( z(t)=x(t)\cos(3t) \)? Mira si la magnitud en \( \omega=0 \) coincide con la de \( X \).
Referencias
- Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition, Pearson, 1996.
- Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd edition, Pearson, 2010.