Muestreo, DFT y FFT · Definición

Aliasing

procesamiento de señalesmuestreo, dft y fft

Cuando muestreamos una señal continua, el espectro de la señal discreta se repite cada \(f_s\). Si esas copias se superponen, la señal original no puede recuperarse sin error.

Definición

El aliasing es el solapamiento de réplicas espectrales que aparece cuando una señal se muestrea a una frecuencia menor que el doble de su ancho de banda, de modo que frecuencias distintas se confunden entre sí.

\[f_{\text{alias}} = |f - k\,f_s|, \quad k \in \mathbb{Z}\]

El espectro de una señal muestreada con periodo \(T_s\) es una suma de réplicas del espectro original desplazadas en múltiplos de \(f_s = 1/T_s\). Mientras estas réplicas no se solapen, un filtro paso bajo ideal permite reconstruir la señal original. Si la frecuencia máxima \(f_{\max}\) cumple \(f_s > 2f_{\max}\), no hay aliasing.

Consideremos una sinusoide de \(7\,\text{Hz}\) muestreada a \(f_s = 10\,\text{Hz}\). Como \(7 > 5\), hay aliasing: la frecuencia aparente es \(|7 - 10| = 3\,\text{Hz}\). Las muestras de ambas sinusoides coinciden, por lo que no pueden distinguirse a partir de los datos.

Un error típico es creer que aumentar la amplitud de la señal o usar un filtro de media móvil después del muestreo elimina el aliasing. El aliasing ocurre en el muestreo mismo, así que solo se evita con un filtro antialiasing previo al muestreo que limite el ancho de banda.

Para pensar

¿Por qué aumentar la amplitud de la señal no elimina el aliasing?

Porque el aliasing depende de la frecuencia \(f\) y de \(f_s\), no de la amplitud: la frecuencia aparente \(|f - k\,f_s|\) no cambia.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué condición evita el aliasing al muestrear una señal de frecuencia máxima \(f_{\max}\)?
  2. ¿Cuál es la frecuencia de Nyquist de un muestreo a \(f_s = 200\,\text{Hz}\)?
  3. Una señal tiene frecuencia máxima de \(30\,\text{Hz}\). ¿Cuál es la frecuencia de muestreo mínima que evita el aliasing?
  4. ¿Qué fenómeno describe la frecuencia aparente que obtenemos tras muestrear por debajo de la tasa de Nyquist?
  5. ¿Qué tipo de filtro se usa antes del muestreo para limitar el ancho de banda y evitar el aliasing?
  6. Una sinusoide de \(8\,\text{Hz}\) se muestrea a \(f_s = 10\,\text{Hz}\). ¿Cuál es la frecuencia aparente tras el muestreo?
  7. Una señal con componentes hasta \(40\,\text{Hz}\) se muestrea a \(f_s = 60\,\text{Hz}\). ¿Se produce aliasing?
  8. Una señal contiene \(\cos(2\pi \cdot 3t)\) y se muestrea con \(f_s = 4\,\text{Hz}\). ¿Qué frecuencia aparente se observa?
  9. Dos sinusoides de \(2\,\text{Hz}\) y \(8\,\text{Hz}\) se muestrean con \(f_s = 10\,\text{Hz}\). ¿Qué afirmación es correcta?
  10. Una señal \(x(t)=\cos(2\pi \cdot 9t)\) se muestrea con \(f_s = 12\,\text{Hz}\) y luego se reconstruye con un filtro paso bajo ideal de corte \(6\,\text{Hz}\). ¿Cuál es la frecuencia de la señal reconstruida?

Referencias

  • Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition, Pearson, 1996.
  • Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd edition, Pearson, 2010.