Transformación lineal

Las dos condiciones se pueden juntar en una: \(T(au+bv)=aT(u)+bT(v)\). En palabras, transformar una combinación lineal es lo mismo que combinar las transformadas. De aquí sale una consecuencia inmediata: \(T(0)=0\), así que una función que mueve el origen, como una traslación, nunca es lineal.

La linealidad hace que \(T\) quede determinada por lo que hace en una base. Si \(v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n\), entonces \(T(v)=a_1T(v_1)+\cdots+a_nT(v_n)\). Por ejemplo, si \(T(1,0)=(2,1)\) y \(T(0,1)=(-1,3)\), entonces \(T(x,y)=x(2,1)+y(-1,3)\) para cualquier vector.

Ejemplos: \(T(x,y)=(x+y,x-y)\) es lineal; la derivada, \(p\mapsto p'\), es lineal en el espacio de polinomios; multiplicar por una matriz, \(x\mapsto Ax\), es lineal en \(\mathbb{R}^n\). No lo son \(x\mapsto x^2\), \(x\mapsto x+1\) ni el valor absoluto. Más adelante se verá que toda transformación lineal entre espacios de dimensión finita se escribe como una matriz.

Error típico: llamar «lineal» a una función cuya gráfica es una recta, como \(f(x)=2x+1\). En álgebra lineal se exige \(f(0)=0\), y esa función no lo cumple. Para refutar la linealidad basta un contraejemplo: verifica \(T(0)=0\) o prueba la aditividad con dos vectores concretos.