Cero y polo

Para una función holomorfa no idénticamente nula en una región conexa, todo cero tiene un orden finito: la serie de Taylor en \(z_0\) empieza en \(a_m(z-z_0)^m\) con \(a_m\neq0\). En la práctica se halla el orden derivando: es el primer \(m\) con \(f^{(m)}(z_0)\neq0\). Los ceros son aislados: un cero nunca se acumula con otros ceros de la misma función no nula, y de ahí sale el principio de identidad.

Un polo de orden \(m\) es una singularidad aislada cuya parte principal de Laurent termina en \(\frac{a_{-m}}{(z-z_0)^m}\) con \(a_{-m}\neq0\); equivale a escribir \(f(z)=\frac{h(z)}{(z-z_0)^m}\) con \(h\) holomorfa y \(h(z_0)\neq0\). El polo de orden \(1\) se llama simple. Cerca de un polo, \(|f(z)|\to\infty\) por cualquier camino.

Los órdenes se suman y se restan como exponentes. Si \(f\) y \(g\) tienen ceros de órdenes \(m\) y \(n\), el producto tiene un cero de orden \(m+n\). El cociente \(f/g\) tiene un cero de orden \(m-n\) si \(m>n\), un valor finito no nulo si \(m=n\) y un polo de orden \(n-m\) si \(n>m\). Por ejemplo, \(\frac{1}{\sin^3 z}\) tiene un polo de orden \(3\) en \(0\) porque \(\sin z\) tiene allí un cero simple.

Error típico: juzgar el orden por el exponente aparente. En \(\frac{z^2-1}{(z-1)^3}\) el exponente \(3\) engaña, porque el numerador también se anula en \(1\) y el polo es de orden \(2\). La regla segura es factorizar \((z-z_0)^m\) y comprobar que lo que queda no se anula. Esta noción permite calcular residuos en polos sin desarrollar toda la serie.