Transformada Z y filtros digitales · Definición

Polos, ceros y estabilidad

procesamiento de señalestransformada z y filtros digitales

Antes de empezar necesitas conocer

Una vez definida la función de transferencia, interesa saber dónde se concentra su comportamiento en el plano z. Los polos y ceros indican cómo responde el sistema a distintas frecuencias y si sus salidas se mantienen acotadas.

Definición

Los polos y ceros de una función de transferencia discreta \(H(z)\) son los valores de \(z\) donde \(H(z)\) se anula o diverge.

\[|p_k| < 1 \quad \forall k\]

Para un sistema racional H(z)=N(z)/D(z), los ceros son las raíces de N(z) y los polos las raíces de D(z). Un sistema causal con todos los polos dentro del círculo unitario tiene respuesta impulsional absolutamente sumable, lo que equivale a estabilidad BIBO. Los polos sobre o fuera del círculo unitario producen respuestas que no se acotan.

Considere \(H(z)=(1-0.5z^{-1})/(1-0.8z^{-1})\). Su cero está en \(z=0.5\) y su polo en \(z=0.8\), ambos dentro del círculo unitario, por lo que el sistema es estable. Al evaluar sobre la circunferencia \(|z|=1\) se obtiene la respuesta en frecuencia correspondiente.

Un error típico es olvidar que los polos se evalúan en la forma de \(z\) y no de \(z^{-1}\): en \(H(z)=1/(1-0.8z^{-1})\) el polo está en \(z=0.8\), pero en \(1/(1-0.8z)\) estaría en \(z=1.25\) y el sistema sería inestable. Conviene reescribir siempre la función con potencias positivas de \(z\) antes de localizar los polos.

Para pensar

¿Puede un sistema causal con todos los polos dentro del círculo unitario tener un cero fuera de él y seguir siendo estable?

Sí. Los ceros no afectan a la estabilidad; solo los polos determinan si la respuesta impulsional es absolutamente sumable.

Ejercicios 10

  1. Un sistema tiene \(H(z)=1/(1-0.6z^{-1})\). ¿Dónde está su polo?
  2. ¿Cuál es el cero de \(H(z)=1-0.4z^{-1}\)?
  3. Un sistema causal tiene un único polo en \(z=0.9\). ¿Es estable?
  4. ¿Qué condición debe cumplir un polo de un sistema causal para que el sistema sea estable?
  5. Un sistema tiene \(H(z)=1/(1+0.5z^{-1})\). ¿Dónde está su polo?
  6. Un sistema causal tiene \(H(z)=1/(1-1.2z^{-1})\). ¿Es estable?
  7. ¿Dónde están los ceros de \(H(z)=(1-0.3z^{-1})(1+0.7z^{-1})\)?
  8. Un sistema tiene \(H(z)=(1-0.5z^{-1})/(1-0.8z^{-1})\). ¿Cuál es su polo y su cero?
  9. Un sistema causal tiene polos en \(z=0.5\) y \(z=-1.5\). ¿Es estable?
  10. Un sistema causal tiene \(H(z)=(1+z^{-1})/(1-1.1z^{-1}+0.3z^{-2})\). ¿Es estable y cuáles son sus polos?

Referencias

  • Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition, Pearson, 1996.
  • Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd edition, Pearson, 2010.