Módulo de un complejo

En el plano, \(a+bi\) es el punto \((a,b)\), y el teorema de Pitágoras da su distancia al origen: \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\). Por ejemplo, \(|3+4i|=5\). El módulo es siempre un real \(\ge0\), y vale \(0\) únicamente para \(z=0\). Para un real, coincide con el valor absoluto de siempre.

La relación con el conjugado, \(z\bar z=|z|^2\), explica la división: \(\frac1z=\frac{\bar z}{|z|^2}\) para \(z\neq0\). De ella se obtiene también que el módulo es multiplicativo: \(|zw|=|z|\,|w|\) y \(\left|\frac zw\right|=\frac{|z|}{|w|}\). En cambio, la suma no conserva el módulo; solo cumple la desigualdad triangular \(|z+w|\le|z|+|w|\) y su variante \(|z+w|\ge\big||z|-|w|\big|\).

El módulo permite medir distancias: \(|z-w|\) es la distancia entre los puntos \(z\) y \(w\). Así, \(|z-w|=r\) es la circunferencia de centro \(w\) y radio \(r\), y \(|z-w|<r\) es el disco abierto correspondiente. Estos discos serán la base de los límites y de la continuidad.

Errores frecuentes: escribir \(|a+bi|=a+b\) o \(\sqrt{a^2+(bi)^2}\) (con la \(i\) dentro de la raíz), y creer que \(|z|^2=z^2\), lo cual solo ocurre si \(z\) es real. El siguiente paso es combinar este módulo con el ángulo de \(z\): la forma polar.