Señales y sistemas LTI · Definición

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

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Antes de empezar necesitas conocer

Los sistemas LTI son el modelo central del procesamiento de señales porque permiten analizar cualquier entrada descomponiéndola en impulsos desplazados. Esta propiedad hace que el cálculo de la salida se reduzca a una operación de convolución.

Definición

Un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) es un sistema que cumple superposición y cuyo comportamiento no cambia al desplazar la entrada. Queda determinado por su respuesta al impulso \(h[n]\).

\[y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k]\]

Un sistema es lineal si cumple superposición: la respuesta a una suma de entradas es la suma de las respuestas, y la respuesta a \(a\,x_1[n]+b\,x_2[n]\) es \(a\,y_1[n]+b\,y_2[n]\). Es invariante en el tiempo si un desplazamiento de la entrada produce el mismo desplazamiento en la salida. Juntas, estas propiedades implican que la salida es la convolución de la entrada con \(h[n]\).

Consideremos un sistema con respuesta al impulso \(h[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n]\) y entrada \(x[n]=\delta[n]+\delta[n-1]\). La salida es \(y[n]=h[n]+h[n-1]\), es decir, la suma de dos respuestas desplazadas una muestra. Esta descomposición muestra cómo cada impulso de la entrada contribuye a la salida.

Un error típico es asumir que cualquier sistema con coeficientes constantes es LTI, pero si el sistema es no lineal, como \(y[n]=x[n]^2\), la superposición falla aunque el sistema no dependa del tiempo. Otro error frecuente es olvidar que la convolución requiere sumar sobre todos los índices \(k\) donde \(x[k]\) no es nulo.

Para pensar

¿Puede un sistema ser invariante en el tiempo sin ser lineal?

Sí. Por ejemplo, \(y[n]=x[n]^2\) no depende del tiempo, pero no cumple superposición.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estas propiedades es necesaria para que un sistema sea LTI?
  2. Un sistema es invariante en el tiempo si un desplazamiento de la entrada produce:
  3. ¿Cuál es la respuesta al impulso de un sistema identidad, que hace \(y[n]=x[n]\)?
  4. Un sistema con \(y[n]=x[n]^2\) es lineal.
  5. ¿Qué operación se usa para calcular la salida de un sistema LTI a partir de su entrada y su respuesta al impulso?
  6. Si \(h[n]=\delta[n]+\delta[n-2]\) y \(x[n]=\delta[n-1]\), ¿cuál es \(y[n]\)?
  7. Si \(h[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n]\) y \(x[n]=\delta[n]\), ¿cuál es \(y[2]\)?
  8. Si \(x[n]=u[n]\) y \(h[n]=\delta[n]-\delta[n-1]\), ¿cuál es \(y[n]\)?
  9. Sean \(h_1[n]=\delta[n]+\delta[n-1]\) y \(h_2[n]=\delta[n-2]\) conectados en cascada. Si \(x[n]=\delta[n]\), ¿cuál es la salida \(y[n]\) del sistema total?
  10. Un sistema LTI tiene \(h[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n]\). Para la entrada \(x[n]=\delta[n]+\delta[n-1]\), ¿cuál es \(y[1]\)?

Referencias

  • Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition, Pearson, 1996.
  • Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd edition, Pearson, 2010.