Transformada Z y filtros digitales · Definición

Función de transferencia de sistemas discretos

procesamiento de señalestransformada z y filtros digitales

Antes de empezar necesitas conocer

Las funciones de transferencia permiten describir un sistema discreto mediante una fracción racional en \(z\). Esta representación facilita analizar estabilidad, respuesta en frecuencia y diseño de filtros.

Definición

La función de transferencia discreta \(H(z)\) es la transformada Z de la respuesta al impulso \(h[n]\) de un sistema LTI en tiempo discreto, con \(H(z)=Y(z)/X(z)\) bajo condiciones iniciales nulas.

\[H(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n]\,z^{-n}\]

Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la salida es la convolución \(y[n]=h[n]*x[n]\), y al aplicar la transformada Z se convierte en el producto \(Y(z)=H(z)X(z)\). Los polos de \(H(z)\) determinan la estabilidad: el sistema es BIBO estable si todos los polos están dentro del círculo unitario \(|z|<1\), como enseñan Oppenheim y Schafer. Los ceros de \(H(z)\) indican frecuencias que el sistema atenúa.

Para un filtro de primer orden \(y[n]=0.5\,y[n-1]+x[n]\), tomando transformada Z con condiciones nulas se obtiene \(Y(z)(1-0.5z^{-1})=X(z)\), luego \(H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\), cuyo polo está en \(z=0.5\) y el sistema es estable. La respuesta al impulso es \(h[n]=0.5^n u[n]\), lo que confirma la relación entre ambas representaciones.

Un error típico es confundir la función de transferencia con la respuesta al impulso en el dominio temporal, o escribir \(H(z)\) sin especificar la región de convergencia. Otro fallo habitual consiste en ignorar las condiciones iniciales, que invalidan la relación \(Y(z)=H(z)X(z)\). Conviene siempre verificar que la región de convergencia incluya la circunferencia unitaria cuando se analiza la respuesta en frecuencia.

Para pensar

¿Qué pasaría con la estabilidad si un polo de \(H(z)\) cayera exactamente sobre la circunferencia unitaria \(|z|=1\)?

No sería BIBO estable: \(h[n]\) no es absolutamente sumable, y una entrada acotada como el escalón puede producir una salida que crece sin límite.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué representa \(H(z)\) para un sistema LTI discreto?
  2. Si \(Y(z)=H(z)X(z)\), ¿qué operación en el tiempo corresponde al producto en \(z\)?
  3. ¿Cómo se llama la región del plano \(z\) donde converge la transformada que define \(H(z)\)?
  4. Para \(H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\), ¿dónde está el polo?
  5. ¿Qué condición garantiza la estabilidad BIBO de un sistema discreto con función de transferencia racional?
  6. Para \(y[n]=0.8\,y[n-1]+x[n]\) con condiciones nulas, ¿cuál es \(H(z)\)?
  7. Si \(h[n]=\delta[n]+0.5\,\delta[n-1]\), ¿cuál es \(H(z)\)?
  8. Un sistema tiene \(H(z)=\frac{z}{z-0.3}\). ¿Cuál es su respuesta al impulso causal \(h[n]\)?
  9. Para \(H(z)=\frac{1}{1-1.2z^{-1}}\) con región de convergencia \(|z|>1.2\), ¿el sistema causal es estable?
  10. Un sistema cumple \(y[n]=0.6\,y[n-1]-0.08\,y[n-2]+x[n]\) con condiciones nulas. ¿Cuál es \(H(z)\)?

Referencias

  • Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition, Pearson, 1996.
  • Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd edition, Pearson, 2010.