Fundamentos de probabilidad · Definición

Permutaciones y combinaciones

probabilidadcombinatoria

Antes de empezar necesitas conocer

En la probabilidad clásica casi todo el trabajo es contar casos favorables y posibles; estas dos herramientas lo hacen sin listar.

Definición

Una permutación \(P(n,k)\) es un arreglo ordenado de \(k\) elementos de un conjunto de \(n\); una combinación \(\binom nk\) es una selección en la que el orden no importa.

\[P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},\quad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\]

La base es el principio multiplicativo: si una tarea se hace en \(m\) pasos y el primero tiene \(a_1\) formas, el segundo \(a_2\), etc., en total hay \(a_1a_2\cdots a_m\) formas. Ordenar \(n\) objetos distintos da \(n!=n(n-1)\cdots1\) permutaciones; ordenar solo \(k\) de ellos da \(P(n,k)=n(n-1)\cdots(n-k+1)\).

Si el orden no importa, cada selección de \(k\) elementos se cuenta \(k!\) veces en \(P(n,k)\), y por eso \(\binom{n}{k}=P(n,k)/k!\). Se lee «\(n\) sobre \(k\)» y cumple \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\): elegir lo que entra es lo mismo que elegir lo que se queda fuera.

Ejemplo guía: en una mano de 5 cartas hay \(\binom{52}{5}=2\,598\,960\) manos posibles, todas igualmente probables; la probabilidad de un evento es el número de manos favorables entre ese total. Así se une el conteo con la probabilidad clásica.

La pregunta clave es siempre: ¿importa el orden? Presidente y secretario sí; los integrantes de un comité no. Otro error común es olvidar que \(0!=1\), o aplicar \(P(n,k)\) cuando hay elementos repetidos, caso en el que hay que dividir entre las repeticiones.

Para pensar

¿Por qué \(\binom{n}{0}=1\)?

Hay una sola forma de no elegir nada: el conjunto vacío. También sale de la fórmula, pues \(0!=1\).

Ejercicios 10

  1. ¿De cuántas formas se pueden elegir un presidente y un secretario entre 5 personas (cargos distintos)?
  2. ¿De cuántas formas se puede formar un comité de 2 personas entre 6?
  3. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 4 libros distintos en un estante?
  4. ¿Cuántos conjuntos distintos de 6 números se pueden elegir entre 49, sin importar el orden?
  5. De un grupo de 5 mujeres y 4 hombres se elige al azar un comité de 3. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga 2 mujeres y 1 hombre?
  6. ¿Cuál de estos números es igual a \(\binom{10}{3}\)?
  7. Cinco personas se forman en fila y dos de ellas, \(A\) y \(B\), deben quedar juntas. ¿De cuántas formas?
  8. Se reparte una mano de 5 cartas de una baraja de 52. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga los 4 ases?
  9. ¿Cuál relación entre \(P(n,k)\) y \(\binom{n}{k}\) es correcta?
  10. Cinco personas tienen cumpleaños uniformes en 365 días. ¿Qué probabilidad hay de que todos sean distintos?

Referencias

  • Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd edition, CRC Press, 2019. §1.4
  • Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th edition, Pearson, 2019. §1.3–1.4
  • Larry Wasserman, All of Statistics, 1st edition, Springer, 2004. §1.5