Ejercicio · ZW-CONVEXIDAD-POR-HESSIANA-010 · ★★★ Avanzado

Sea \(f(x,y)=x^2-y^2+2xy\). Determine si \(f\) es convexa en \(\mathbb{R}^2\) y justifique con la hessiana.

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  • C. No es convexa, porque la hessiana \(\begin{pmatrix}2&2\\2&-2\end{pmatrix}\) tiene un valor propio negativo

Explicación

La hessiana tiene determinante \(-4-4=-8<0\), así que sus valores propios tienen signos opuestos y uno es negativo. La traza nula no implica semidefinición positiva, y la entrada \(-2\) es negativa.

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Repasa el concepto: Convexidad y matriz hessiana

Criterio que caracteriza la convexidad de una función diferenciable dos veces mediante la hessiana \(\nabla^2 f(x)\), que debe ser semidefinida positiva en cada punto del dominio.

\[f \text{ convexa} \iff \nabla^2 f(x) \succeq 0 \ \forall x \in \operatorname{dom} f\]

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