Determinantes · Definición
Determinante
Antes de empezar necesitas conocer
El determinante resume en un solo número si una matriz cuadrada es invertible y cuánto cambia los volúmenes.
Definición
El determinante de una matriz cuadrada es un número que mide cuánto escala volúmenes la transformación lineal que la matriz define.
Para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la solución única existe justo cuando \(ad-bc\ne0\). Ese número, que sale de eliminar una incógnita, es el determinante de la matriz de coeficientes. La idea se generalizó a \(n\times n\) como una única cantidad que decide si el sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) tiene solución única para todo \(\mathbf{b}\).
La interpretación geométrica da el sentido: las columnas de una matriz \(2\times2\) forman un paralelogramo y su área es \(|\det A|\); en \(3\times3\) es el volumen del paralelepípedo. El signo indica si la transformación conserva o invierte la orientación. Si el determinante es 0, el paralelogramo se aplasta en un segmento: las columnas son dependientes y la matriz no es invertible.
Ejemplo guía: \(\det\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot5=1\), así que la matriz es invertible y conserva áreas. Errores típicos: restar en el orden equivocado (\(bc-ad\)), o creer que \(\det(A+B)=\det A+\det B\), que es falso; lo que sí se cumple es \(\det(AB)=\det A\det B\). Para triangulares basta multiplicar la diagonal, y en el siguiente concepto veremos cómo calcular matrices más grandes por cofactores. Para una matriz \(2\times2\) el determinante es \(ad-bc\), y para una triangular es el producto de su diagonal.
Para pensar
Si \(\det A=0\), ¿qué se puede decir de las columnas de \(A\)?
Son linealmente dependientes, y por eso \(A\) no es invertible.
¿Es cierto que \(\det(2A)=2\det A\) para una matriz \(3\times3\)?
No: cada una de las 3 filas se multiplica por 2, así que \(\det(2A)=2^3\det A=8\det A\).
Ejercicios 10
- Calcula \(\det A\) para \(A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\).
- Calcula el determinante de \(\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 5 & 3\end{pmatrix}\).
- Calcula el determinante de la matriz triangular superior \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix}\).
- ¿Para qué valor de \(k\) se cumple \(\det\begin{pmatrix}k & 2 \\ 3 & 6\end{pmatrix}=0\)?
- ¿Cuánto vale el determinante de la matriz identidad \(I_3\)?
- Calcula \(\det A\) con la regla de Sarrus para \(A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4\end{pmatrix}\).
- El paralelogramo generado por los vectores \((3,1)\) y \((1,2)\) tiene área igual a:
- Halla todos los valores de \(x\) tales que \(\det\begin{pmatrix}x & 1 \\ 4 & x\end{pmatrix}=0\).
- Sea \(A\) una matriz \(2\times2\) con \(\det A=7\). ¿Cuánto vale \(\det(2A)\)?
- Calcula \(\det\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}\) y decide qué dice sobre las filas.
Referencias
- Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §5.1
- Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §10.A