Números reales · Definición

Axioma de completitud

análisis realnúmeros reales

Antes de empezar necesitas conocer

Es el axioma que convierte a los racionales, llenos de huecos, en la recta real continua sobre la que se apoya todo el análisis.

Definición

Propiedad que distingue a \(\mathbb R\) de \(\mathbb Q\): todo conjunto no vacío \(S\) de reales con una cota superior \(M\) tiene supremo.

\[S\ne\varnothing,\ \exists M:\ s\le M\ \forall s\in S\ \Longrightarrow\ \sup S\in\mathbb R\]

Los axiomas de cuerpo y de orden no bastan para el análisis: \(\mathbb Q\) los cumple y, sin embargo, el conjunto \(\{x\in\mathbb Q: x^2<2\}\) está acotado superiormente sin tener una menor cota racional. La completitud exige que ese hueco no exista en \(\mathbb R\): su supremo es \(\sqrt2\).

Es un axioma, no un teorema, en la presentación axiomática de \(\mathbb R\) (en las construcciones por cortaduras de Dedekind o por sucesiones de Cauchy se demuestra). Se le llama también propiedad del supremo o de la mínima cota superior. Enunciado para supremos, vale también para ínfimos: si \(S\) está acotado inferiormente, \(\inf S=-\sup(-S)\) existe.

Las dos hipótesis son necesarias. Sin acotación superior no hay cota alguna (\(\mathbb N\) no tiene supremo en \(\mathbb R\)), y para el conjunto vacío todo número sería cota, de modo que no habría una menor. Además se garantiza el supremo, no el máximo: \((0,1)\) tiene supremo \(1\) y ningún máximo.

De este axioma salen los resultados centrales del curso: la propiedad arquimediana, la densidad de los racionales, la existencia de raíces, el teorema de la sucesión monótona acotada, el de Bolzano-Weierstrass y el del valor intermedio. Cada vez que una demostración dice «sea \(s=\sup S\)», está usando la completitud.

Para pensar

¿Es \(\mathbb Q\) un cuerpo ordenado? ¿Qué le falta para ser \(\mathbb R\)?

Sí, cumple los axiomas de cuerpo y de orden; le falta la completitud, pues hay conjuntos racionales acotados sin supremo racional.

Si \(S\) tiene máximo, ¿qué relación hay con su supremo?

Coinciden: el máximo es una cota superior que pertenece a \(S\), luego es la menor.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué afirma el axioma de completitud?
  2. ¿Cuál de estos conjuntos de racionales no tiene supremo en \(\mathbb Q\)?
  3. ¿Para cuál conjunto NO se cumple la hipótesis del axioma de completitud?
  4. Si \(S\) es no vacío y acotado inferiormente, ¿qué garantiza el axioma de completitud?
  5. Calcula \(\sup\{x\in\mathbb R: x^3<8\}\).
  6. Sea \(S=\{x\in\mathbb R: x^2+x<6\}\). ¿Cuánto vale \(\inf S+\sup S\)?
  7. Calcula \(\sup\left\{\dfrac{2n}{n+1}: n\in\mathbb N\right\}\).
  8. ¿Qué estructura cumple los axiomas de cuerpo ordenado pero no el de completitud?
  9. Sea \(S\) no vacío, acotado superiormente, y \(M=\sup S\). ¿Cuál afirmación es verdadera?
  10. ¿Por qué el axioma de completitud exige que el conjunto sea no vacío?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §1.3
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 1, 1.10–1.11
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §2.3