Convolución

Para cada \(t\), la convolución pondera los valores pasados de \(f\) con la función \(g\) leída hacia atrás: cuando \(\tau\) crece, \(g(t-\tau)\) mira instantes cada vez más cercanos al origen. Por eso describe cómo un sistema acumula el efecto de una entrada \(f\) filtrada por una respuesta \(g\). Es conmutativa, asociativa y distributiva respecto a la suma, aunque \(f*g\) no es el producto \(fg\).

El teorema de convolución afirma que \(\mathcal L\{f*g\}=F(s)\,G(s)\). Así, \(\mathcal L^{-1}\{F(s)G(s)\}=f*g\): en lugar de fracciones parciales se puede integrar. Convolucionar con \(1\) es integrar desde \(0\): \((f*1)(t)=\int_0^t f\), que corresponde a dividir entre \(s\).

Ejemplo guía: \(\dfrac{1}{s^2(s-1)}=\dfrac1{s^2}\cdot\dfrac1{s-1}\) es la transformada de \(t*e^{t}=\int_0^t\tau e^{t-\tau}d\tau=e^{t}-t-1\). En ecuaciones, si \(y''+y=g(t)\) con condiciones iniciales nulas, entonces \(Y=\dfrac{G(s)}{s^2+1}\) y \(y=\sin t*g\) para cualquier forzamiento \(g\).

Errores típicos: pensar que \(\mathcal L\{fg\}=F\,G\) (eso es para \(f*g\)) o que \(f*1=f\) (en realidad integra). En la integral, \(\tau\) es la variable muda y \(t\) es fija; el resultado es una función de \(t\).