Núcleo e imagen

Ambos conjuntos son subespacios: el núcleo vive en el dominio y la imagen en el codominio. Si \(T(u)=0\) y \(T(v)=0\), entonces \(T(au+bv)=0\); y una combinación de valores \(T(u)\) y \(T(v)\) es el valor \(T(au+bv)\). Por eso ambos contienen siempre al vector cero, ya que \(T(0)=0\).

Cuando \(T(x)=Ax\), el núcleo es el conjunto de soluciones de \(Ax=0\) y la imagen es el conjunto de combinaciones lineales de las columnas de \(A\). Ejemplo: para \(T(x,y,z)=(x+y,\,y+z)\), resolver \(x+y=0\), \(y+z=0\) da \(x=z=-y\), así que el núcleo es la recta generada por \((1,-1,1)\); las columnas \((1,0)\), \((1,1)\) y \((0,1)\) generan todo \(\mathbb{R}^2\), de modo que la imagen es \(\mathbb{R}^2\).

El núcleo detecta la inyectividad: \(T\) es inyectiva exactamente cuando su núcleo es \(\{0\}\), porque \(T(u)=T(v)\) equivale a \(u-v\in\ker T\). La imagen detecta la suprayectividad: \(T\) es suprayectiva cuando la imagen es todo el codominio.

Error típico: creer que el núcleo es vacío cuando \(T\) es inyectiva. Nunca es vacío, pues siempre contiene al cero; inyectiva significa que contiene solo al cero. Las dimensiones de núcleo e imagen están ligadas de forma precisa, y eso es justamente el teorema del rango y la nulidad.