Ejercicio · ZW-MINIMOS-CUADRADOS-LINEALES-010 · ★★★ Avanzado

Sea \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\end{pmatrix}\) y \(b=(1,2,2)^\top\). Calcula la solución de mínimos cuadrados \(x^\) y el residuo \(\|Ax^-b\|_2^2\).

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B. \(x^*=(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{2})^\top\), residuo \(\tfrac{1}{6}\)

Explicación

Las ecuaciones normales dan \(x^*=(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{2})^\top\), y el residuo \(Ax^*-b=(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6})^\top\) tiene norma al cuadrado \(\tfrac{1}{6}\). La opción con residuo \(\tfrac{1}{3}\) usa el mismo \(x^*\) pero suma mal los cuadrados de las componentes.

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Repasa el concepto: Mínimos cuadrados lineales

Problema de optimización que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos \(\|Ax-b\|_2^2\) para aproximar un vector \(b\) mediante combinaciones lineales de las columnas de \(A\).

\[\min_{x}\ \|Ax-b\|_2^2 \quad \Rightarrow \quad A^\top A\,x = A^\top b\]

Sea \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\end{pmatrix}\) y \(b=(1,2,2)^\top\). Calcula la solución de mínimos cuadrados \(x^*\) y el residuo \(\|Ax^*-b\|_2^2\).

Explicación

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