Residuo

La fórmula integral sale de integrar término a término la serie de Laurent sobre la circunferencia \(|z-z_0|=\rho\): \(\oint (z-z_0)^n\,dz\) vale \(0\) si \(n\neq-1\) y \(2\pi i\) si \(n=-1\). Por eso \(\oint f\,dz=2\pi i\,a_{-1}\), y el residuo es justamente lo que \(f\) aporta a la integral. En una singularidad evitable el residuo es \(0\), pero ojo: puede ser \(0\) también en un polo (como \(\frac1{z^2}\)) o ser distinto de \(0\) en una singularidad esencial (como \(e^{1/z}\)).

Para polos hay atajos que evitan desarrollar la serie. En un polo simple, \(\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)\). Si \(f=\frac gh\) con \(g(z_0)\neq0\), \(h(z_0)=0\) y \(h'(z_0)\neq0\), entonces \(\operatorname{Res}=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}\). En un polo de orden \(m\), \(\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\big[(z-z_0)^m f(z)\big]\).

Ejemplo guía: para \(\frac{1}{z^2+1}\) en \(z=i\), el polo es simple y el residuo es \(\frac{1}{2z}\) evaluado en \(i\), es decir, \(\frac1{2i}=-\frac i2\). Cuando el atajo es incómodo, se multiplica por la serie conocida: para \(\frac{\sin z}{z^4}\) basta sustituir \(\sin z=z-\frac{z^3}{6}+\cdots\) y leer el coeficiente de \(z^{-1}\).

El residuo depende del punto y de la función, no de la curva: cualquier circunferencia \(0<\rho<r\) da el mismo resultado. El siguiente paso natural es el teorema de los residuos, que suma los residuos de todas las singularidades dentro de un contorno para evaluar su integral de un solo golpe.