Combinación lineal y span

Dados vectores \(v_1,\dots,v_k\) y escalares \(c_1,\dots,c_k\), el vector \(c_1v_1+\cdots+c_kv_k\) es una combinación lineal; los escalares se llaman coeficientes. Por ejemplo, \(2(1,2)+3(0,-1)=(2,1)\). Preguntar si un vector \(b\) es combinación lineal de otros es preguntar si cierto sistema de ecuaciones tiene solución, y se resuelve con eliminación gaussiana.

El span (o espacio generado) de \(v_1,\dots,v_k\) reúne todas sus combinaciones lineales. Siempre contiene a \(0\), a cada \(v_i\) y a cualquier suma o múltiplo de sus elementos. Geométricamente, el span de un vector no nulo es una recta por el origen; el de dos vectores que no son múltiplos entre sí en \(\mathbb{R}^3\) es un plano por el origen.

No todos los vectores aportan algo nuevo: como \((2,4)=2(1,2)\), el span de \((1,2)\) y \((2,4)\) es la misma recta que el de \((1,2)\). En cambio, \((1,1)\) y \((1,2)\) generan todo \(\mathbb{R}^2\). Que unos vectores generen un espacio dado y que algunos sobren son las dos preguntas que dan origen a la independencia lineal y a la base.

Un error común es pensar que los coeficientes deben ser positivos o enteros; pueden ser cualquier real. Otro es olvidar que, en un espacio general (matrices, polinomios, funciones), las combinaciones se hacen con las mismas reglas: por ejemplo, \(x^2\) y \(1\) generan los polinomios \(ax^2+b\).