Conjuntos y relaciones · Definición

Operaciones entre conjuntos

matemáticas discretasconjuntos

Son el lenguaje básico para hablar de «ambos», «alguno» o «ninguno», y sostienen el conteo y la lógica de todo el curso.

Definición

Las operaciones entre conjuntos combinan dos conjuntos \(A\) y \(B\), dentro de un universo \(U\), para formar otro: unión, intersección, diferencia y complemento.

\[A\cup B,\quad A\cap B,\quad A\setminus B,\quad A^{c}=U\setminus A\]

La unión \(A\cup B\) reúne los elementos que están en \(A\), en \(B\) o en ambos; la intersección \(A\cap B\) conserva solo los que están en los dos. La diferencia \(A\setminus B\) deja lo que está en \(A\) y no en \(B\), y el complemento \(A^{c}\) es la diferencia \(U\setminus A\), por lo que siempre depende del universo \(U\) elegido.

Las operaciones obedecen leyes parecidas a las del álgebra: son conmutativas y asociativas, la intersección se distribuye sobre la unión y viceversa, y \(A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B\). Las leyes de De Morgan, \((A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}\) y \((A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}\), indican cómo pasar el complemento hacia dentro intercambiando unión e intersección.

Para demostrar una igualdad entre conjuntos se prueban las dos inclusiones con un elemento arbitrario, o se traduce cada pertenencia a una proposición con «y», «o» y «no». Un ejemplo guía: \(A\setminus B=A\cap B^{c}\), pues estar en la diferencia es estar en \(A\) y no estar en \(B\).

Un error típico es confundir \(A\setminus B\) con \(B\setminus A\) (la diferencia no es simétrica) o olvidar que el complemento cambia si cambia el universo. Estas operaciones preparan el principio de inclusión-exclusión, que cuenta los elementos de una unión.

Para pensar

¿Es cierto que \(A\setminus B=B\setminus A\) para todo \(A\) y \(B\)?

No. Con \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{2,3\}\), \(A\setminus B=\{1\}\) pero \(B\setminus A=\{3\}\). Solo coinciden si ambas son vacías.

Usa De Morgan para describir «ni en \(A\) ni en \(B\)».

Es \((A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}\): no estar en la unión equivale a no estar en \(A\) y no estar en \(B\).

Ejercicios 10

  1. Sean \(A=\{1,2,3,4,5\}\) y \(B=\{4,5,6,7\}\). ¿Cuántos elementos tiene \(A\cup B\)?
  2. Con \(A=\{1,2,3,4,5\}\) y \(B=\{4,5,6,7\}\), ¿cuál es \(A\cap B\)?
  3. Con \(A=\{1,2,3,4,5\}\) y \(B=\{4,5,6,7\}\), ¿cuál es \(A\setminus B\)?
  4. Sea el universo \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) y \(A=\{1,2,3,4,5\}\). ¿Cuál es el complemento \(A^{c}\)?
  5. Con \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), \(A=\{1,2,3,4,5\}\) y \(B=\{4,5,6,7\}\), ¿cuál es \((A\cup B)^{c}\)?
  6. Con \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), \(A=\{1,2,3,4,5\}\) y \(B=\{4,5,6,7\}\), ¿cuál es \((A\cap B)^{c}\)?
  7. ¿Qué expresión es igual a la diferencia \(A\setminus B\)?
  8. Sean \(A\) y \(B\) conjuntos cualesquiera. ¿Cuál afirmación es siempre verdadera?
  9. Sea \(A\) el conjunto de los números pares de 1 a 20 y \(B\) el de los múltiplos de 3 de 1 a 20. ¿Cuál es \(A\cap B\)?
  10. Si \(A\subseteq B\), ¿cuál afirmación es siempre cierta?

Referencias

  • Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8th edition, McGraw-Hill, 2019. §2.2
  • Susanna S. Epp, Discrete Mathematics with Applications, 5th edition, Cengage, 2019. §6.1
  • Ralph P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction, 5th edition, Pearson, 2003. §3.1