Conteo · Definición

Factorial

matemáticas discretasconteo

Antes de empezar necesitas conocer

Mide de cuántas maneras se pueden ordenar \(n\) objetos distintos, y por eso aparece en casi cualquier fórmula de conteo.

Definición

El factorial de un entero \(n\ge 0\), escrito \(n!\), es el producto de los enteros positivos menores o iguales que \(n\); el de cero vale uno por convención.

\[n!=n(n-1)\cdots 2\cdot 1,\quad 0!=1\]

La razón de ser del factorial es el principio de la multiplicación: para ordenar \(n\) objetos distintos hay \(n\) opciones para el primer lugar, \(n-1\) para el segundo, y así hasta quedar una. Seis personas en fila pueden ordenarse de \(6!=720\) maneras. De ahí sale la propiedad que más se usa, \(n!=n\,(n-1)!\), que permite simplificar cocientes como \(\dfrac{8!}{6!}=8\cdot 7=56\).

La convención \(0!=1\) no es arbitraria: conserva la relación \(n!=n\,(n-1)!\) para \(n=1\) y corresponde a que hay una sola forma de ordenar cero objetos, la lista vacía. También hace que fórmulas posteriores, como la de los coeficientes binomiales, funcionen sin casos especiales en los extremos.

El factorial crece muy rápido: \(10!=3628800\) y \(20!\) ya supera los \(2\times 10^{18}\). Por eso, al calcular cocientes de factoriales conviene cancelar los factores comunes en vez de evaluar cada factorial completo. Para ordenar objetos con ciertas restricciones, como dos personas que deben ir juntas, se trata el bloque como un objeto más y se multiplica por los órdenes internos.

Errores típicos: pensar que \((a+b)!=a!+b!\) o que \(\dfrac{a!}{b!}=\dfrac{a}{b}\), ninguno de los cuales es cierto (por ejemplo \(\dfrac{6!}{4!}=30\), no \(\tfrac{3}{2}\)). El factorial se aplica solo a enteros no negativos en este curso.

Para pensar

¿Por qué hay \(n!\) maneras de ordenar \(n\) objetos distintos?

Por el principio de la multiplicación: \(n\) opciones para el primer lugar, \(n-1\) para el segundo, etc., y el producto de esas opciones es \(n!\).

¿Es \(3!+2!\) igual a \(5!\)?

No: \(3!+2!=8\), mientras que \(5!=120\). El factorial no distribuye sobre la suma.

Ejercicios 10

  1. Calcula \(5!\).
  2. ¿De cuántas maneras pueden formarse en fila 6 personas distintas?
  3. Calcula \(\dfrac{6!}{4!}\).
  4. ¿Por qué se define \(0!=1\)?
  5. Para \(n\ge 0\), ¿cuál es igual a \((n+1)!\)?
  6. Calcula \(\dfrac{8!}{6!\,2!}\).
  7. Simplifica \(\dfrac{n!}{(n-2)!}\) para \(n\ge 2\).
  8. Con las letras A, B, C, D (sin repetir) se forman palabras de 4 letras. ¿Cuántas empiezan con A?
  9. Cinco personas (3 hombres y 2 mujeres) se forman en fila con las dos mujeres juntas. ¿De cuántas maneras?
  10. ¿Con cuántos ceros termina \(20!\)? (Cada cero final viene de un factor 10 = 2 · 5.)

Referencias

  • Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8th edition, McGraw-Hill, 2019. §6.3
  • Susanna S. Epp, Discrete Mathematics with Applications, 5th edition, Cengage, 2019. §9.2
  • Ralph P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction, 5th edition, Pearson, 2003. §1.2