Divisibilidad

Decir que \(a\mid b\) es lo mismo que decir que existe un entero \(k\) con \(b=ak\); no hay división de por medio ni resultados decimales. Por eso \(3\mid 12\) (con \(k=4\)) y \(5\nmid 12\). Todo entero divide a 0, porque \(0=a\cdot0\), y el 1 y el \(-1\) dividen a todos; en cambio, el 0 no divide a nada salvo a sí mismo, razón por la cual se pide \(a\neq0\).

Las propiedades básicas salen directamente de la definición. Es reflexiva (\(a\mid a\)) y transitiva (si \(a\mid b\) y \(b\mid c\), entonces \(a\mid c\)), pero no simétrica: \(2\mid 6\) y \(6\nmid 2\). Si \(a\) divide a \(b\) y a \(c\), divide a cualquier combinación \(mb+nc\); esta observación es la base del algoritmo de Euclides.

Cuando \(a\nmid b\), la división aún tiene sentido con residuo: existen enteros únicos \(q\) y \(r\) con \(b=aq+r\) y \(0\le r<a\), y entonces \(a\mid b\) equivale a \(r=0\). Un error común es pensar que \(a\mid bc\) obliga a \(a\mid b\) o \(a\mid c\): \(4\mid 2\cdot2\), pero 4 no divide a 2. Esa implicación solo es válida cuando \(a\) es primo.

La divisibilidad conduce al máximo común divisor, a los números primos y a la aritmética modular, donde «\(n\mid a-b\)» se lee como «\(a\) y \(b\) son congruentes módulo \(n\)».