Demostración por contradicción

El método se apoya en que un enunciado y su negación no pueden ser ambos verdaderos. Si negar \(p\) lleva a un absurdo, entonces \(p\) no puede ser falso. El absurdo suele ser una afirmación del tipo «\(r\) y no \(r\)»: por ejemplo, un número par e impar a la vez, o una fracción irreducible que resulta reducible.

El ejemplo clásico es la irracionalidad de \(\sqrt2\). Se supone \(\sqrt2=a/b\) con \(a/b\) irreducible; entonces \(a^2=2b^2\), luego \(a\) es par, \(a=2c\) y \(b^2=2c^2\), luego \(b\) también es par. Pero entonces la fracción no era irreducible. Otro es el de Euclides: si los primos fueran \(p_1,\dots,p_n\), el número \(N=p_1\cdots p_n+1\) no es divisible entre ninguno de ellos, así que tiene un factor primo fuera de la lista.

Para una implicación \(p\Rightarrow q\), se supone \(p\) junto con \(\neg q\), porque esa es la negación de la implicación. No hay que confundir este método con la contrarrecíproca, que prueba \(\neg q\Rightarrow\neg p\) de forma directa y no busca ningún absurdo.

Conviene usarlo cuando el enunciado dice que algo no existe o es imposible («no hay», «es irracional», «son infinitos»), porque negarlo da un objeto concreto con el cual trabajar.