Diagrama de Hasse

Un orden parcial completo contiene muchas relaciones que se deducen de otras: los lazos \(a\preceq a\) y los pares \(a\preceq c\) que resultan de \(a\preceq b\preceq c\). El diagrama de Hasse las elimina y deja solo las cubiertas, es decir, los pares \(b\prec a\) sin ningún elemento estrictamente intermedio. La convención es que el elemento mayor va más arriba, de modo que no hacen falta flechas.

Para recuperar el orden se lee el dibujo al revés: \(b\preceq a\) exactamente cuando existe un camino que sube de \(b\) a \(a\) siguiendo aristas. En los divisores de \(12\) con la divisibilidad, el camino \(3-6-12\) dice que \(3\mid 12\), mientras que \(2\) y \(3\) no están unidos por ningún camino ascendente, así que no son comparables.

El dibujo revela la forma del orden: un orden total es una sola cadena vertical; los divisores de \(30\) forman un cubo; un elemento sin nada encima es maximal y uno sin nada debajo es minimal. Un conjunto de elementos sin caminos entre ellos es una antícadena.

Un error común es unir elementos que no son consecutivos, como \(1\) con \(4\) en los divisores de \(12\), pues \(2\) queda en medio. Otro es creer que dos elementos a la misma altura son comparables: la altura en el dibujo es solo una conveniencia y lo que cuenta son los caminos.