Principio de la multiplicación

Para usarlo hay que descomponer la tarea en pasos ordenados y contar las opciones de cada uno. Armar un conjunto de ropa con 4 camisas y 3 pantalones es una tarea de dos pasos: hay \(4\cdot 3=12\) resultados, porque cada camisa se combina con cada pantalón. Un árbol de decisiones lo muestra: 4 ramas iniciales, y de cada una salen 3.

La condición clave es que el número de opciones de un paso no dependa de lo que se eligió antes. Pueden cambiar los objetos disponibles, pero no cuántos son. En los números de tres cifras distintas, la primera cifra tiene 9 opciones, la segunda 9 y la tercera 8 sin importar qué cifras se hayan usado, así que hay \(9\cdot 9\cdot 8=648\).

Si las opciones de un paso sí dependen de las anteriores, conviene reordenar los pasos y empezar por el más restrictivo: para contar números pares se elige primero la última cifra. Cuando todos los pasos tienen las mismas \(n\) opciones el producto es \(n^k\); así aparecen las \(2^8\) cadenas binarias de longitud 8 o los \(2^6\) subconjuntos de un conjunto de 6 elementos.

El error más común es sumar en lugar de multiplicar. La regla de la suma se usa cuando se elige entre alternativas excluyentes («una cosa o la otra»); la del producto, cuando se hacen varias elecciones una tras otra («y luego»). Este principio sostiene el factorial, las permutaciones y los coeficientes binomiales.