Permutaciones con repetición

La idea es contar primero como si todos los objetos fueran distintos, lo que da \(n!\) ordenaciones, y luego corregir el exceso. Intercambiar entre sí dos letras idénticas no produce una palabra nueva, de modo que cada ordenación real se ha contado \(n_1!\) veces por las permutaciones internas de los objetos del primer tipo, \(n_2!\) veces por las del segundo, y así sucesivamente. Dividir entre \(n_1!\,n_2!\cdots n_k!\) deshace esa multiplicidad.

Un ejemplo guía es la palabra BANANA: sus seis letras tienen la A tres veces y la N dos veces, por lo que hay \(\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!}=60\) ordenaciones distintas, y no \(6!=720\). El mismo razonamiento cuenta cadenas binarias con un número fijo de unos y caminos en una cuadrícula, que son ordenaciones de pasos repetidos como derecha o arriba.

Los tipos que aparecen una sola vez pueden incluirse o no, porque \(1!=1\); lo que sí debe cumplirse es que \(n_1+n_2+\cdots+n_k=n\). Cuando solo hay dos tipos, la fórmula coincide con \(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!}\), que es el coeficiente binomial que verás más adelante; con más tipos se le llama coeficiente multinomial.

Errores típicos: dividir entre \(n_1+n_2+\cdots\) en lugar de entre el producto de los factoriales, o usar \(n!\) sin corregir. Cuando hay restricciones, como fijar una letra al inicio, se aparta esa letra y se aplica la fórmula a las restantes.