Conteo · Definición

Teorema del binomio

matemáticas discretasconteo

Antes de empezar necesitas conocer

Evita multiplicar un binomio por sí mismo una y otra vez: dice de golpe qué coeficiente lleva cada término.

Definición

El teorema del binomio expresa la potencia \((x+y)^n\), con \(n\) entero no negativo, como una suma de términos cuyos coeficientes son los coeficientes binomiales \(\binom{n}{k}\).

\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}\]

La idea viene de contar. Al multiplicar \(n\) factores \((x+y)\), cada término sale de elegir \(x\) o \(y\) en cada factor. Los términos con \(y^k\) se forman escogiendo \(y\) en exactamente \(k\) de los \(n\) factores, y eso puede hacerse de \(\binom{n}{k}\) maneras; por eso el coeficiente de \(x^{n-k}y^k\) es \(\binom{n}{k}\). Una demostración alternativa usa inducción sobre \(n\) junto con la regla de Pascal.

Por ejemplo, \((x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16\): el término con \(x^2\) es \(\binom{4}{2}x^2\cdot 2^2=6\cdot 4\,x^2\). El desarrollo tiene \(n+1\) términos y sus coeficientes forman la fila \(n\) del triángulo de Pascal. Para \((x-y)^n\) basta sustituir \(y\) por \(-y\), de modo que los signos alternan.

Dar valores particulares produce identidades útiles. Con \(x=y=1\) se obtiene \(\sum_k\binom{n}{k}=2^n\), y con \(x=1,\ y=-1\) resulta \(\sum_k(-1)^k\binom{n}{k}=0\) para \(n\ge 1\). Error típico: olvidar que \(x\) y \(y\) pueden llevar coeficientes, como en \((2x-1)^4\), donde el 2 también se eleva a la potencia.

Para pensar

¿Cuál es el coeficiente de \(x^7\) en \((x+1)^{10}\)?

\(\binom{10}{7}=\binom{10}{3}=120\), por la simetría de los coeficientes binomiales.

¿Por qué \(\sum_k\binom{n}{k}2^k=3^n\)?

Es el teorema con \(x=1,\ y=2\): \((1+2)^n=3^n\).

Ejercicios 10

  1. Calcula el coeficiente de \(x^2\) en el desarrollo de \((x+1)^5\).
  2. ¿Cuántos términos tiene el desarrollo de \((a+b)^8\) antes de reducir términos semejantes?
  3. Calcula el coeficiente de \(x^3\) en \((x+2)^5\).
  4. Calcula el coeficiente de \(x^2\) en \((2x-1)^4\).
  5. ¿Cuánto vale \(\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}\)?
  6. En el desarrollo de \((x+y)^6\), ¿cuál es el coeficiente del término central, \(x^3y^3\)?
  7. Desarrolla \((x-y)^3\).
  8. Halla el término constante del desarrollo de \(\left(x+\frac1x\right)^6\).
  9. Calcula \(\sum_{k=0}^{8}(-1)^k\binom{8}{k}\).
  10. Calcula \(\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}2^k\).

Referencias

  • Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8th edition, McGraw-Hill, 2019. §6.4
  • Susanna S. Epp, Discrete Mathematics with Applications, 5th edition, Cengage, 2019. §9.7
  • Ralph P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction, 5th edition, Pearson, 2003. §1.3