Demostración directa

Casi todo enunciado de la forma «si \(p\), entonces \(q\)» se ataca primero así. Se supone \(p\) como dado, se traducen los términos a sus definiciones y se manipula hasta obtener \(q\). Para probar que el cuadrado de un entero par es par, se escribe \(n=2k\) y se calcula \(n^2=4k^2=2(2k^2)\): el resultado tiene la forma de un par.

La clave está en elegir bien la representación. Un par es \(2k\); un impar es \(2k+1\); «\(a\) divide a \(b\)» significa \(b=ak\) para algún entero \(k\). Con esas definiciones, la prueba se reduce a álgebra: si \(a=2k+1\) y \(b=2j+1\), entonces \(a+b=2(k+j+1)\), que es par.

Un error frecuente es creer que unos cuantos ejemplos demuestran un enunciado universal. Los ejemplos sirven para intuir, no para probar; la prueba debe valer para un elemento arbitrario. En cambio, para refutar una afirmación universal basta un contraejemplo: \(n^2+n+41\) es primo para \(n=1,2,\dots,39\), pero no para \(n=40\).

Cuando la vía directa no se deja, se recurre a la contradicción o a la inducción. Antes de eso, conviene siempre intentar escribir la hipótesis con definiciones: muchas veces la prueba está a dos pasos de ahí.