Sucesiones · Definición

Subsucesión

análisis realsucesiones

Antes de empezar necesitas conocer

Permite estudiar una sucesión mirando solo algunos de sus términos, y es la herramienta para probar que una sucesión no converge o que sus términos se concentran en ciertos valores.

Definición

Una subsucesión de una sucesión \((a_n)\) es una sucesión \((a_{n_k})\) formada por términos de \((a_n)\) con índices naturales estrictamente crecientes \(n_k\).

\[a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\dots\ \text{con}\ n_1

Una subsucesión se obtiene «saltándose» términos sin cambiar el orden. Si \(a_n=1/n\), los términos \(a_{2k}=1/(2k)\) forman una subsucesión; en cambio \(1/2,1,1/4,1/3,\dots\) no lo es, porque altera el orden. Una consecuencia inmediata de que los índices crezcan estrictamente es que \(n_k\ge k\) para todo \(k\), de modo que \(n_k\to\infty\).

El resultado básico es que, si \(a_n\to L\), toda subsucesión converge también a \(L\): dado \(\varepsilon>0\) existe \(N\) con \(|a_n-L|<\varepsilon\) para \(n\ge N\), y como \(n_k\ge k\), basta tomar \(k\ge N\). La contrarrecíproca sirve para probar divergencia: si dos subsucesiones tienen límites distintos, o una subsucesión diverge, la sucesión original no converge.

El ejemplo clásico es \(a_n=(-1)^n\): la subsucesión de índices pares es constante igual a \(1\) y la de índices impares es constante igual a \(-1\), así que no converge. Observa que el recíproco falla: una sucesión puede tener subsucesiones convergentes sin ser convergente.

Este concepto prepara el teorema de Bolzano-Weierstrass, que asegura que toda sucesión acotada tiene al menos una subsucesión convergente, y más adelante la compacidad, donde esa propiedad se convierte en definición.

Para pensar

Si una subsucesión de \((a_n)\) converge a \(3\) y otra a \(5\), ¿qué se concluye de \((a_n)\)?

Que diverge: si convergiera a \(L\), todas sus subsucesiones tendrían límite \(L\).

Si \((a_{2k})\) y \((a_{2k+1})\) convergen al mismo límite \(L\), ¿converge \((a_n)\)?

Sí, a \(L\): dado \(\varepsilon\), hay un \(N\) que sirve para los pares y otro para los impares; el mayor sirve para todos los \(n\).

Ejercicios 10

  1. Sea \(a_n=n^2\) y \(n_k=2k\). ¿Cuánto vale el tercer término \(a_{n_3}\) de la subsucesión?
  2. ¿Cuál de estas sucesiones es una subsucesión de \(1,\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\dots\)?
  3. Sea \(a_n=\frac{n+1}{n}\). ¿A qué número converge la subsucesión \(a_{k^2}\)?
  4. Sea \(a_n=(-1)^n\). ¿A qué converge la subsucesión de índices pares \(a_{2k}\)?
  5. Sea \(a_n=3+\frac1n\). ¿A qué converge la subsucesión \(a_{10^k}\)?
  6. Sea \(a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\). ¿Cuál de estos números NO es límite de ninguna subsucesión de \((a_n)\)?
  7. Si \(a_{2k}\to1\) y \(a_{2k+1}\to2\), ¿qué ocurre con \((a_n)\)?
  8. ¿Cuál de estas elecciones de índices define una subsucesión \((a_{n_k})\) de cualquier sucesión \((a_n)\)?
  9. Si \(n_1<n_2<\cdots\) son naturales, ¿qué afirmación se cumple siempre?
  10. Sea \(a_n=(-1)^n\left(1+\frac1n\right)\). ¿Cuál es el conjunto de límites de sus subsucesiones convergentes?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §2.5, Definición 2.5.1
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 3, Definición 3.5
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §3.4, Definición 3.4.1