Sea φ:ℝ→ℝ, φ(x)=x^3. ¿Cuál es la conclusión correcta?

Es un homeomorfismo, pero no un difeomorfismo, porque φ^-1(x)=√[3]x no es derivable en 0

Es un difeomorfismo, porque su jacobiano 3x^2 es siempre positivo

Es un difeomorfismo, porque es biyectiva y suave

Es una isometría, porque conserva distancias

Ejercicio · ZW-DEFORMACION-DIFEOMORFA-SUAVE-011 · ★★★ Avanzado

Sea \(\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(\varphi(x)=x^3\). ¿Cuál es la conclusión correcta?

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C. Es un homeomorfismo, pero no un difeomorfismo, porque \(\varphi^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\) no es derivable en 0

La inversa \(\sqrt[3]{x}\) no es derivable en 0, y \(D\varphi(0)=0\) anula el jacobiano; por eso es homeomorfismo pero no difeomorfismo.

Una deformación difeomorfa suave \(\varphi\) es una transformación biyectiva y suave cuya inversa también es suave.

\[\varphi^{-1}\text{ es suave}\]