Homeomorfismo

Un homeomorfismo establece una correspondencia uno a uno entre los puntos de \(X\) y de \(Y\) que además es una correspondencia entre sus abiertos: \(U\) es abierto en \(X\) si y solo si \(f(U)\) es abierto en \(Y\). Por eso todo lo que se defina solo con abiertos (cerrados, interiores, cerraduras, continuidad) pasa intacto de un espacio al otro. Si existe un homeomorfismo se dice que los espacios son homeomorfos y se escribe \(X\cong Y\); la relación es de equivalencia, pues la identidad, la inversa y la composición de homeomorfismos son homeomorfismos.

Ser biyectiva y continua no basta. La identidad de \((\mathbb{R},\text{discreta})\) a \((\mathbb{R},\text{usual})\) es una biyección continua cuya inversa no lo es, porque el conjunto \(\{0\}\) es abierto en el primero y no en el segundo. La exigencia sobre \(f^{-1}\) es la que garantiza que no se «rompan» ni se «peguen» los abiertos. Más adelante veremos condiciones (como la compacidad) bajo las cuales una biyección continua sí es homeomorfismo.

Un homeomorfismo puede estirar, doblar y torcer, pero no cortar ni pegar. Por ejemplo, \(f(x)=\frac{x}{1-x}\) lleva \((0,1)\) en \((0,\infty)\) con inversa \(y\mapsto\frac{y}{1+y}\), así que el intervalo acotado y la semirrecta son homeomorfos aunque uno tenga longitud finita. Por eso las distancias no son un invariante topológico.

Para probar que dos espacios no son homeomorfos se busca una propiedad topológica que uno tenga y el otro no (número de abiertos, existencia de abiertos disjuntos, y más adelante compacidad o conexidad). Probar que sí lo son exige exhibir el homeomorfismo y comprobar la continuidad de \(f\) y de \(f^{-1}\). Contar puntos o abiertos no basta.