Cambio de variables en integrales múltiples

Una transformación \(T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))\) lleva un pequeño rectángulo de lados \(du\) y \(dv\) a un paralelogramo curvo cuya área es \(|J|\,du\,dv\), donde \(J\) es el determinante de la matriz de derivadas parciales. Por eso \(dA=|J|\,du\,dv\): el jacobiano mide cuánto estira o encoge \(T\) las áreas localmente. Las polares son el caso \(J=r\), y en tres variables aparece el determinante \(3\times3\), que da \(r\) en cilíndricas y \(\rho^2\sin\varphi\) en esféricas.

Para aplicar el método se necesita que \(T\) sea de clase \(C^1\), inyectiva (salvo en la frontera) y con \(J\neq0\) en el interior de \(S\). Si te dan \(u=u(x,y)\), \(v=v(x,y)\), calcula \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\) y usa que \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=1\big/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\), evitando despejar \(x,y\) cuando no hace falta.

Ejemplo guía: para \(x=2u,\ y=3v\) el disco unitario \(S\) se transforma en la elipse \(\tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{9}\le1\) con \(|J|=6\), de modo que su área es \(6\pi\). La estrategia es elegir \(u,v\) para que la frontera de \(R\) quede en curvas \(u=\text{cte}\) y \(v=\text{cte}\), o para que el integrando se simplifique, como en \(e^{(y-x)/(y+x)}\).

Errores típicos: olvidar el factor \(|J|\), usar \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\) en lugar de su recíproco, no tomar el valor absoluto y describir mal los nuevos límites de \(S\). Conviene dibujar \(S\) calculando a dónde van los vértices o las curvas frontera de \(R\).