Ejercicio · ZW-FUNCION-MEDIBLE-008 · ★★☆ Intermedio
Si f y g son medibles, ¿por qué \(f+g\) es medible?
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- A. Porque \(\{f+g>a\}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}\big(\{f>q\}\cap\{g>a-q\}\big)\), unión numerable de medibles
Explicación
Si \(f(x)+g(x)>a\), existe un racional \(q\) con \(f(x)>q\) y \(g(x)>a-q\), así que \(\{f+g>a\}\) es unión numerable de intersecciones de medibles. Ni la unión de \(\{f>a\}\) y \(\{g>a\}\) ni la continuidad o la acotación justifican la medibilidad.
Repasa el concepto: Función medible
Una función f: X → ℝ es medible respecto a una σ-álgebra \(\mathcal{A}\) de X si la preimagen \(f^{-1}(B)\) pertenece a \(\mathcal{A}\) para todo conjunto de Borel B de ℝ.
\[f^{-1}(B)\in\mathcal{A}\ \forall B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\]
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