Continuidad de funciones · Definición

Función continua

cálculocontinuidad

Antes de empezar necesitas conocer

La continuidad describe funciones cuya gráfica no tiene saltos, huecos ni asíntotas en un punto. Es una idea básica del cálculo.

Definición

Una función \(f\) es continua en \(a\) si \(f(a)\) está definida, su límite en \(a\) existe y coincide con \(f(a)\).

\[\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\]

Intuitivamente, una función es continua si puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz. La definición lo vuelve preciso con tres condiciones: \(f(a)\) existe, el límite existe y los dos coinciden.

Ejemplo guía: sea \(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\). No está definida en \(x=2\), así que no es continua allí. Sin embargo, su límite en 2 es 4; si definimos \(f(2)=4\), la función pasa a ser continua.

Error típico: creer que basta con que \(f(a)\) esté definida. Si el límite no existe o es distinto de \(f(a)\), la función no es continua en \(a\), aunque el valor en el punto exista.

Para pensar

¿Qué tres condiciones se piden para continuidad en a?

Que f(a) esté definida, que exista el límite en a, y que el límite sea igual a f(a).

Demuestra con la definición que \(f(x)=x^2\) es continua en \(c=2\).

Si \(|x-2|<\delta\le1\), entonces \(|x+2|<5\) y \(|x^2-4|<5\delta\). Con \(\delta=\min\{1,\varepsilon/5\}\) se obtiene \(|x^2-4|<\varepsilon\).

Ejercicios 20

  1. ¿Cuál de las siguientes NO es una condición para que f sea continua en a?
  2. ¿En qué punto es discontinua la función \(f(x)=\dfrac{1}{x-4}\)?
  3. ¿Qué valor de k hace que \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}&\text{si }x\neq2\[2mm] k&\text{si }x=2\end{cases}\) sea continua en \(x = 2\)?
  4. ¿Qué valor de k hace que \(f(x)=\begin{cases}x+1&\text{si }x<1\\ kx^{2}&\text{si }x\geq1\end{cases}\) sea continua en \(x = 1\)?
  5. ¿Qué valor de k hace que \(f(x)=\begin{cases}kx-3&\text{si }x\leq2\\ x^{2}-1&\text{si }x>2\end{cases}\) sea continua en \(x = 2\)?
  6. ¿Qué valor de k hace continua en x = 3 la función \(f(x)=\dfrac{x^{2}-9}{x-3}\) si \(x\neq3\) y \(f(3)=k\)?
  7. ¿Qué valor de k hace continua en x = 1 la función definida por \(f(x)=x+k\) si \(x<1\) y \(f(x)=2x^{2}\) si \(x\geq1\)?
  8. ¿Cuál afirmación sobre la continuidad de \(f\) en un punto \(a\) es correcta?
  9. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene \(f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\) en \(x = 1\)?
  10. ¿Cuál es el valor de \(\lim_{x\to3}(2x^{2}-x)\)?
  11. Para \(f(x)=2x-5\) en \(c=3\) y \(\varepsilon=0.4\), ¿cuál es el mayor \(\delta\) que sirve?
  12. Sea \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\) si \(x\ne2\) y \(f(2)=k\). ¿Para qué \(k\) es continua en \(2\)?
  13. ¿Cuál de estas funciones es continua en \(0\)?
  14. La función de Dirichlet vale \(1\) en los racionales y \(0\) en los irracionales. ¿En cuántos puntos es continua?
  15. Para \(f(x)=x^2\) en \(c=1\) y \(\varepsilon=0.05\), ¿cuál es el mayor \(\delta\) que sirve?
  16. Halla \(a\) para que sea continua en \(2\): \(f(x)=ax+1\) si \(x\le2\), \(f(x)=x^2-ax\) si \(x>2\).
  17. Si \(f\) y \(g\) son continuas en \(c\), ¿cuál de estas funciones es siempre continua en \(c\)?
  18. Sea \(f(x)=x\sin(1/x)\) para \(x\ne0\) y \(f(0)=k\). ¿Para qué \(k\) es continua en \(0\)?
  19. Si \(f\) es continua en \(c\) y \(f(c)>0\), ¿qué se puede asegurar?
  20. Para \(f(x)=1/x\) en \(c=1\), si \(|x-1|<\delta\le1/2\), ¿cuál es la menor cota de la forma \(k\delta\) válida para \(|f(x)-f(1)|\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.
  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §4.3, Definición 4.3.1
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 4, Definición 4.5
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §5.1, Definición 5.1.1