Sea \(f\) medible y \(g(x)=f(x)^2\). Demuestra que \(g\) es medible, indicando qué conjunto verificas para \(a<0\) y para \(a\ge 0\). ¿Cuál es la conclusión correcta?
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C. Para \(a<0\) el conjunto \(\{g>a\}\) es todo X; para \(a\ge0\) es \(\{f>\sqrt a\}\cup\{f<-\sqrt a\}\), que es medible; luego g es medible
Para a<0 se tiene {g>a}=X, y para a≥0 la condición g>a equivale a |f|>√a, es decir, f>√a o f<-√a, ambos medibles. La opción que usa solo {f>a} ignora los valores negativos de f.
Una función f: X → ℝ es medible respecto a una σ-álgebra \(\mathcal{A}\) de X si la preimagen \(f^{-1}(B)\) pertenece a \(\mathcal{A}\) para todo conjunto de Borel B de ℝ.