Ejercicio · ZW-INDUCCION-MATEMATICA-005 · ★☆☆ Básico
En el paso inductivo de \(1+2+\cdots+n=\tfrac{n(n+1)}{2}\), al sumar \(k+1\) a ambos lados de \(P(k)\) el lado derecho es igual a:
Elige una opción.
Ver respuesta
- A. \(\tfrac{(k+1)(k+2)}{2}\)
Explicación
Se tiene \(\tfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)=(k+1)\big(\tfrac k2+1\big)=\tfrac{(k+1)(k+2)}{2}\), que es \(P(k+1)\). Sumar solo \(1\) olvida que el sumando nuevo es \(k+1\).
Repasa el concepto: Inducción matemática
La inducción matemática prueba que una propiedad \(P(n)\) vale para todo entero \(n\ge n_0\): se verifica el caso base \(P(n_0)\) y se prueba que, para cada \(k\ge n_0\), \(P(k)\) implica \(P(k+1)\).
\[\big[P(n_0)\wedge\forall k\ge n_0\,(P(k)\Rightarrow P(k+1))\big]\Rightarrow\forall n\ge n_0\,P(n)\]
Más ejercicios de inducción matemática
- ZW-INDUCCION-MATEMATICA-001 Una demostración por inducción matemática consta de:
- ZW-INDUCCION-MATEMATICA-002 Para probar 2+4+cdots+2n=n(n+1), en el caso base n=1 ambos lados valen:
- ZW-INDUCCION-MATEMATICA-003 En el paso inductivo para P(n), la hipótesis inductiva es:
- ZW-INDUCCION-MATEMATICA-004 Usando 1+3+cdots+(2n-1)=n^2, ¿cuánto suman los primeros 12 impares?
- ZW-INDUCCION-MATEMATICA-006 Usando 1^2+2^2+cdots+n^2=tfracn(n+1)(2n+1)6, calcula 1^2+2^2+cdots+6^2.
- ZW-INDUCCION-MATEMATICA-007 Para probar que 6 divide a 7^n-1, ¿qué igualdad permite pasar de P(k) a P(k+1)?
- ZW-INDUCCION-MATEMATICA-008 La desigualdad 2^n>n^2 falla para n=2,3,4 y vale para n≥5. ¿Qué caso base es adecuado para probarla…
- ZW-INDUCCION-MATEMATICA-009 Sea P(n): «n=n+1». Se prueba que P(k)⇒ P(k+1) sumando 1 a ambos lados. ¿Qué se concluye?