Determinantes · Definición
Cofactor y expansión de Laplace
Antes de empezar necesitas conocer
Los cofactores reducen un determinante grande a determinantes más pequeños, y la expansión de Laplace convierte esa idea en un método de cálculo.
Definición
El menor \(M\) de una entrada es el determinante de la submatriz que queda al eliminar su fila y su columna; el cofactor \(C\) es ese menor con signo alternante.
La fórmula \(ad-bc\) no se extiende de forma obvia a matrices más grandes. La salida es recursiva: se elige una fila, y cada entrada se multiplica por el determinante de lo que queda al tachar su fila y su columna (el menor), con un signo que alterna. Así un determinante \(n\times n\) se escribe con determinantes \((n-1)\times(n-1)\), y se repite hasta llegar a tamaño \(2\times2\).
El signo \((-1)^{i+j}\) sigue el patrón de un tablero de ajedrez, empezando con \(+\) en la esquina superior izquierda. Lo notable es que el resultado no depende de la fila o columna elegida, de modo que conviene siempre escoger la que tenga más ceros: cada cero elimina un sumando completo.
Ejemplo guía: para \(A=\begin{pmatrix}2&0&1\\3&1&0\\4&0&5\end{pmatrix}\), expandir por la segunda columna deja un solo término, \(1\cdot(+1)\det\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}=6\). Errores típicos: olvidar el signo del cofactor, o mezclar entradas de una fila con cofactores de otra (eso da cero, hecho que se usa más adelante para la matriz adjunta). Para matrices grandes el método es muy costoso, y la eliminación gaussiana es preferible.
Para pensar
¿Qué signo lleva el cofactor de la entrada en la fila 2, columna 3?
Negativo, porque \((-1)^{2+3}=-1\).
¿Por qué conviene expandir por una fila con ceros?
Porque cada entrada cero hace que su término \(a_{ij}C_{ij}\) valga 0 y no hay que calcular ese menor.
Ejercicios 10
- Para \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10\end{pmatrix}\), calcula el cofactor \(C_{12}\).
- Para la misma matriz \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10\end{pmatrix}\), calcula el menor \(M_{23}\) (sin signo).
- ¿Qué signo \((-1)^{i+j}\) corresponde a la posición \((3,2)\)?
- Calcula \(\det B\) expandiendo por la primera fila, con \(B=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4\end{pmatrix}\).
- Calcula el cofactor \(C_{21}\) de \(\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 5 & 7\end{pmatrix}\).
- Calcula \(\det\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}\) expandiendo por la columna más conveniente.
- Calcula el determinante de \(\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 1\end{pmatrix}\).
- Para \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10\end{pmatrix}\), ¿cuánto vale \(a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}+a_{13}C_{23}\) (fila 1 con los cofactores de la fila 2)?
- Para calcular el determinante de una matriz \(4\times4\) expandiendo por una fila sin ceros, ¿cuántos determinantes \(3\times3\) (menores) hay que evaluar?
- Halla los valores de \(x\) para los que \(\det\begin{pmatrix}x & 1 & 0 \\ 2 & x & 1 \\ 0 & 1 & x\end{pmatrix}=0\).
Referencias
- Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §5.2
- Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §10.B