Sea \(V\subseteq[0,1]\) un conjunto de Vitali y \(A=\bigcup_{n}(V+q_n)\) con \(q_n\) enumeración de \(\mathbb{Q}\cap[-1,1]\). Si \(V\) fuera medible, ¿qué desigualdad obtienes para \(m(V)\) y por qué lleva a contradicción?
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B. \(m(V)\) cumpliría \(1\le\sum_n m(V)\le 3\), imposible para \(m(V)=0\) o \(m(V)>0\)
Si \(m(V)=0\), la unión \(A\) tendría medida nula, pero contiene \([0,1]\) y debe medir al menos 1. Si \(m(V)>0\), la suma numerable daría medida infinita, pero \(A\subseteq[-1,2]\) fuerza medida como mucho 3.
El conjunto de Vitali es un subconjunto de \([0,1]\) que contiene exactamente un representante de cada clase de \(\mathbb{R}\) módulo \(\mathbb{Q}\), y no es medible según Lebesgue.