Lógica de predicados · Definición

Cuantificador universal

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Antes de empezar necesitas conocer

El cuantificador universal \(\forall\) expresa que una propiedad se cumple para todos los elementos de un dominio.

Definición

Dado un predicado \(P(x)\) sobre un dominio \(D\), el cuantificador universal afirma que \(P(x)\) es verdadera para todo \(x\in D\).

\[\forall x\,P(x)\]

El cuantificador universal, también llamado «para todo», afirma que una propiedad se cumple para cada elemento del dominio de interpretación. Se escribe \(\forall x\,P(x)\) y se lee «para todo \(x\), \(P(x)\)».

Para refutar una afirmación universal basta encontrar un contraejemplo: un elemento del dominio para el que P(x) sea falsa.

El dominio no es un detalle decorativo. Cambiarlo puede cambiar el valor de verdad de la afirmación universal.

Para pensar

¿Qué basta para refutar \(\forall x\,P(x)\)?

Un solo elemento del dominio que haga falsa a \(P(x)\).

Ejercicios 10

  1. El símbolo del cuantificador universal es...
  2. ∀x P(x) significa que P(x) se cumple...
  3. Para refutar una afirmación universal basta encontrar...
  4. ¿Cuál afirmación es universal?
  5. Si P(x) es verdadera para cada x del dominio, ∀x P(x) es...
  6. El símbolo ∀ se lee...
  7. ∀x P(x) es verdadera cuando...
  8. Para refutar ∀x P(x) basta encontrar...
  9. ¿Cuál afirmación es equivalente a \(\forall x\,P(x)\)?
  10. En un dominio vacío, ∀x P(x) se considera...

Referencias

  • Frederic P. Schuller, Lectures on the Geometrical Anatomy of Theoretical Physics · Lecture 1, Introduction / Logic of Propositions and Predicates, YouTube, 2015.