Teoría de la demostración · Definición

Completitud lógica

lógicademostración

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Definición

Un cálculo \(\mathcal{S}\) es completo si toda fórmula \(\varphi\) válida bajo su semántica es demostrable en \(\mathcal{S}\).

\[\mathcal{S}\models\varphi\Rightarrow\mathcal{S}\vdash\varphi\]

La completitud lógica relaciona la semántica con la sintaxis: toda fórmula válida bajo las interpretaciones consideradas puede ser demostrada mediante el cálculo formal.

No significa que el sistema demuestre cualquier fórmula ni que sea automáticamente consistente. Significa que no deja fuera una verdad lógica válida del tipo que el cálculo pretende capturar.

Por eso completitud y consistencia son propiedades distintas: una pregunta qué verdades se pueden alcanzar y la otra qué contradicciones no se pueden demostrar.

Para pensar

¿Qué conecta la completitud?

La validez semántica de una fórmula con su demostrabilidad formal.

Ejercicios 10

  1. La completitud relaciona...
  2. En un cálculo completo, una fórmula válida puede...
  3. La completitud no significa que...
  4. ¿Cuál expresión representa la idea de completitud?
  5. La completitud habla principalmente de lo que el cálculo...
  6. La completitud de un cálculo conecta...
  7. Si una fórmula válida es demostrable en el cálculo, hablamos de...
  8. Completitud no significa que...
  9. Selecciona consecuencias de un cálculo completo.
  10. La completitud debe distinguirse de la consistencia porque...

Referencias

  • Frederic P. Schuller, Lectures on the Geometrical Anatomy of Theoretical Physics · Lecture 1, Introduction / Logic of Propositions and Predicates, YouTube, 2015.